高考数学总复习讲义简单线性规划

高考数学总复习讲义简单线性规划

简单的线性规划 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。‎ ‎2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。‎ ‎3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；‎ ‎4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。‎ ‎5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。‎ ‎【知识网络】‎ 简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用 不等式（组）的应用背景 ‎【考点梳理】‎ ‎【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点】‎ 考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）‎ 要点诠释：‎ 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：‎ ‎①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；‎ ‎②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；‎ ‎③确定要画不等式所表示的平面区域。‎ 简称：“直线定界，特殊点定域”方法。‎ 考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 要点诠释：‎ 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：‎ 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)‎ 最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.‎ 考点三：线性规划的有关概念：‎ ‎①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．‎ ‎②线性目标函数：‎ 关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．‎ ‎③线性规划问题：‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．‎ ‎④可行解、可行域和最优解：‎ 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．‎ 由所有可行解组成的集合叫做可行域．‎ 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．‎ 要点诠释：‎ 在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：‎ ‎①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。‎ ‎②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；‎ ‎③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；‎ ‎④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。‎ 考点四：解线性规划问题总体步骤：‎ 设变量→找约束条件，找目标函数 作图，找出可行域求出最优解 要点诠释：‎ 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：‎ ‎ ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；‎ ‎ ②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1．画出3x+y-3<0所表示的平面区域.‎ ‎【解析】‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【变式2】表示的平面区域为（　　）‎ ‎ ‎ A B C D ‎【答案】B；原不等式可转化为或 ‎【变式3】画出不等式表示的平面区域。‎ ‎【解析】先画直线（画成虚线）.‎ 取原点代入得,‎ ‎∴原点不在表示的平面区域内，‎ 不等式表示的区域如图：‎ 例2．画出下列不等式组表示的平面区域。‎ ‎（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎（1） （2） （3）‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】用平面区域表示不等式 ‎【解析】‎ ‎【变式2】求不等式组的整数解。‎ ‎【解析】如图所示，‎ 作直线，，，‎ 在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，‎ 此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。‎ 类型二：图解法解决简单的线性规划问题.‎ ‎【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一】‎ 例3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．12 B．‎10 ‎ C．8 D．2‎ ‎【解析】由约束条件可知可行域如图：‎ 平移知在处取得最大值 答案：B 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，求；‎ ‎(1) 的最大值；‎ ‎(2)的范围.‎ ‎【解析】作出可行域如图,并求出顶点坐标.‎ x y ‎0o x-y+2=0‎ x+y-4=0‎ ‎2x-y-5=0‎ A B C (1) 将代入得最大值21;‎ (2) 表示可行域内一点到定点的斜率的2倍,‎ 因为,‎ 的范围是.‎ 例4.已知、满足约束条件，求下列各式的最大值和最小值. ‎ ‎（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 求出交点，，，‎ 作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. ‎ 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，‎ 当经过点时的直线所对应的最大，所以；‎ 当经过点时的直线所对应的最小，所以.‎ ‎（2）不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. ‎ 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，‎ 当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大，所以；‎ 当经过点时的直线所对应的最小，所以.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.‎ ‎【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：‎ 从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，‎ 以经过点的直线所对应的最小，‎ 以经过点的直线所对应的最大.‎ 所以，‎ ‎.‎ 类型三：实际应用问题中的线性规划问题.‎ 例5.家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?‎ ‎【解析】‎ 设制作x把椅子，y张桌子约束条件：， ‎ 目标函数：z=15x+20y.‎ 如图：目标函数经过A点时，z取得最大值 ‎ 即A(200, 900)‎ ‎∴ 当x=200, y=900时，zmax=15×200+20×900=21000(元)‎ 答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：‎ 产品品种 劳动力（个）‎ 煤（吨）‎ 电（千瓦）‎ A产品 ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ B产品 ‎10‎ ‎4‎ ‎5‎ 已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？‎ ‎【解析】‎ 设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元 则，目标函数 作出可行域，如图所示， ‎ 作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，‎ 此直线经过点M（20，24）‎ 故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）。‎