备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题62 几何概型

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题62 几何概型

专题62 几何概型 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查几何概型的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2．几何概型的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．‎ ‎3．几何概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎4.几何概型常见的类型，可分为三个层次：‎ ‎（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率.‎ ‎（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）‎ ‎（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数.从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系.从而将问题转化成为第（2）类问题求解 ‎5.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．‎ ‎6．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．‎ ‎7. 求解与面积有关的几何概型的关键点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎8. 求解与体积有关的几何概型的关键点 ‎ 17‎ 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019年全国卷I理】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则 A. p1=p2 B. p1=p3‎ C. p2=p3 D. p1=p2+p3‎ ‎【答案】A 黑色部分的面积为 ，‎ 其余部分的面积为，所以有，‎ 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.‎ 点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.‎ 例2.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 17‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点】几何概型 ‎【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.‎ 例3.【2019届江西省临川一中模拟】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 17‎ ‎ ‎ 例4.【2019届山东省实验中学二模】《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．‎ 详解：‎ 设水深为x尺，‎ 则（x+2）2=x2+52，‎ 解得x=，‎ 17‎ 即水深尺．‎ 又葭长尺，‎ 则所求概率为.‎ 故选：A．‎ 例5.【2019届河南省最后一次模拟】如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 所以,所求的概率为.‎ 本题选择D选项.‎ 例6.【2019届河北省武邑中学四模】在平面区域内随机取一点，则点在圆内部的概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 17‎ 其中满足的点为阴影部分对应的点，其面积为，不等组对应的平面区域的面积为，故所求概率为，故选B．‎ 例7.【2019届安徽省淮南市二模】已知是边长为2的正三角形，在内任取一点，则该点落在内切圆内的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意求出△ABC内切圆的面积与三角形的面积比即可．‎ 详解：如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，‎ 则AD=，OD=，‎ ‎∴△ABC内切圆的半径为r=，‎ 所求的概率是P=．‎ 故答案为：D 17‎ 例8.【2019届安徽省安庆市第一中学热身】在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 故选C．‎ 例9.【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.‎ 例10.【2019届江西师范大学附属中学三模】在区间上任取一个数，则函数 17‎ 在上的最大值是的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．‎ 详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，‎ 由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，‎ ‎∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，‎ ‎∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，‎ 即最大值是|3﹣a|或|1+a|；‎ 令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；‎ 又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届广东省东莞市考前演练】如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8‎ 17‎ 个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由几何概型及概率的计算可知，用黑色部分的面积比总面积，即可求解概率.‎ 详解：设白色部分的等腰直角三角形的斜边长为，则直角边的长为，‎ 所以所有白色部分的面积为，‎ 则黑色部分的等腰直角三角形的腰长为1，所有黑色部分的面积为，‎ 由几何概型可得其概率为，故选B.‎ ‎2．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎∴所求概率为．‎ 17‎ 故选．‎ 点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．‎ ‎3．【2019届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知在矩形中，，现在矩形内任意取一点，则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，‎ 则在两弧区间，求出两弧之间曲边形面积，利用几何概型概率公式可得结果.‎ 扇形面积为，‎ 两弧之间曲边形面积为 ‎，‎ ‎ 的概率为，故选B.‎ ‎4．【2019届山东省潍坊市三模】三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足 17‎ ‎，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，‎ 所以满足条件的概率为，故选D.‎ ‎5．【2019届四川省成都市模拟（一）】把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为6米的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间2米处的两个界点，再求出其比值．‎ 详解：记“稍短的一根细绳的长度大于2米”为事件， 则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断， 即在中间的2米的绳子上剪断，才使得稍短的一根细绳的长度大于2米， 所以由几何概型的公式得到事件 发生的概率 ‎ 故选D.‎ ‎6．【2019届安徽省江南十校冲刺联考（二模）】不等式所表示的区域为，函数 17‎ 的图象与轴所围成的区域为.向内随机投一个点，则该点落到内概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 概率为．‎ ‎7．【2019届山东省名校联盟一模】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000颗米粒（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内米粒数大约为（ ）‎ 17‎ A. 750 B. 500 C. 375 D. 250‎ ‎【答案】C ‎6．【2019届山西省运城市康杰中学高考模拟（一）】在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先利用直线和圆的位置关系得到弦长等于该圆内接三角形的边长的直线的位置，再利用几何概型的概率公式进行求解.‎ 详解：设圆的半径为，则，‎ 则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为.故选C.‎ 17‎ 点睛：本题考查几何概型的概率问题，几何概型的几何模型主要是长度、面积与体积，其关键是选择合适的模型，如本题中虽然涉及直线和圆的位置关系，但要注意点在圆的直径上运动，即该概率为线段的长度之比.‎ ‎7．【2019届河南省巩义市市直高中下学期模拟】已知点，在：上随机取一点，则的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎8．【2019届宁夏回族自治区银川一中高考前训练】如图，一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为________．‎ 17‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先分别计算圆与正方形面积，再根据几何概型概率公式求结果.‎ 详解：因为圆与正方形面积分别为，所以该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为.‎ ‎9．【2019届山东省潍坊市青州市三模】已知平面向量，则事件“”的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎10．【2019届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线下方的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ 17‎ 点睛：（1）本题考查定积分和几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是求点落在曲线下方的面积.‎ ‎11．【2019届江西省南昌市三模】中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据几何概型的概率公式分别求出正六边形的面积和圆的面积即可 详解：设圆心为O，圆的半径为1，则正六边形的面积S=则对应的概率P=，故答案为.‎ ‎12．【2019届山东省威海市二模】在中，在边上任取一点，满足的概率为_______.‎ ‎【答案】. 　‎ 17‎ 17‎