2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-2函数的单调性与最大
第2讲 函数的单调性与最大(小)值
最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
知 识 梳 理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的
图像描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么就称A为单调区间．
2．函数的最值
前提
函数y＝f(x)的定义域为D
条件
(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．( )
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)
0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
答案 2
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1】 (1)函数f(x)＝ (x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
(1)解析 由x2－4>0，得x>2或x<－2.
∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
令t＝x2－4，则y＝t(t>0)．
∵t＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，且y＝t在(0，＋∞)上是减函数，∴函数f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即f(x)单调递增区间为(－∞，－2)．
答案 D
(2)解 法一 设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上递增．
规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．
(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【训练1】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．
解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明如下：
法一 设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数．
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数．
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，
解得x>或x<－(舍)．
令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00恒成立，试求实数a的取值范围．
(1)解析 ①由于f(x)＝
所以f(3)＝3＝－1，则f(f(3))＝f(－1)＝－3，
②当x>1时，f(x)＝x是减函数，得f(x)<0.
当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.
答案 －3 1
(2)解 ①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
设1≤x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0,2x1x2＞2，
∴0＜＜，1－＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．
则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立．
即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，
∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.
又a≤1，∴当－30在x∈[1，＋∞)上恒成立．故实数a
的取值范围是(－3,1].
规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图像法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
【训练2】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3
C．4 D．－1
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图像关于直线x＝对称．又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
答案 C
考点三 函数单调性的应用(典例迁移)
【例3】 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式>0的解集为________．
解析 (1)对任意x1≠x2，都有>0.
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式>0可化为
>f或>f，
∴x>或－0的解集是________．
解析 因为f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
所以＞0等价于＞f，
又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以＜，
即－＜x＜，解得＜x＜3.
答案
规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
【训练3】 (2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
因此2|a－1|<＝，
又y＝2x是增函数，
∴|a－1|<，解得0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解 ∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－
＝(x1－x2).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2,0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( )
A．4 B．2 C. D.
解析 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，
此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．
当0－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，
即－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x)min＝f(2)＝ln.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
