- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例4 空间角的计算问题学案
规范答题示例4 空间角的计算问题 典例4 (15分)(2017·浙江)如图,已知四棱锥P—ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 审题路线图 方法一 (1)→→→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 方法一 (1)证明 如图,设PA的中点为F,连接EF,FB. 因为E,F分别为PD,PA中点, 所以EF∥AD且EF=AD, 又因为BC∥AD,BC=AD, 所以EF∥BC且EF=BC, 所以四边形BCEF为平行四边形, 所以CE∥BF.4分 因为BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB, 因此CE∥平面PAB.6分 (2)解 分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接 第一步 找平行:通过三角形中位线,找出线线平行进而得到线面平行. 第二步 找夹角:通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角. 第三步 找关系:由图形找出各线段之间的长度关系,进而求得夹角的正弦值. 第四步 5 MQ. 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点, 在平行四边形BCEF中,MQ∥CE. 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD, 又PN∩BN=N,PN,BN⊂平面PBN,所以AD⊥平面PBN.9分 由BC∥AD得BC⊥平面PBN, 又BC⊂平面PBC,那么平面PBC⊥平面PBN. 过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH. MH是MQ在平面PBC上的投影, 所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12分 设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=, 在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=, 在Rt△MQH中,QH=,MQ=, 所以sin∠QMH=, 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.15分 得结论:得到所求夹角的正弦值. 审题路线图 方法二 (1)→→→→→ (2)→ 5 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 方法二 (1)证明 设AD的中点为O,连接OB,OP. ∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴OP⊥AD. ∵BC=AD=OD,且BC∥OD, ∴四边形BCDO为平行四边形, 又∵CD⊥AD,∴OB⊥AD, ∵OP∩OB=O,OP,OB⊂平面OPB,∴AD⊥平面OPB.2分 过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M, 以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.4分 设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P(x,0,z)(z>0),由PC=2,OP=1, 得解得x=-,z=. 即P,∵E为PD的中点, ∴E. 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1), ∵=,=(1,1,0), ∴即解得 令y=-1,得n=(1,-1,).7分 而=,∴·n=0, 又∵CE⊄平面PAB,∴CE∥平面PAB.10分 (2)解 设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2), ∵=(0,1,0),=, 第一步 找垂直:找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线. 第二步 写坐标:建立空间直角坐标系,写出点坐标. 第三步 求向量:求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步 求夹角:计算向量的夹角. 第五步 得结论:得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角. 5 ∴即 令x2=1,得m=(1,0,).13分 设直线CE与平面PBC所成的角为θ, 则sin θ=|cos〈,m〉|==. 故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.15分 评分细则 (1)方法一第(1)问中证明CE∥平面PAB缺少条件扣1分,第(2)问中证明PN⊥AD和BN⊥AD各给1分. (2)方法二中建系给2分,两个法向量求出1个给3分,没有最后结论扣1分,法向量取其他形式同样给分. 跟踪演练4 (2018·全国Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (1)证明 由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF, PF∩EF=F,PF,EF⊂平面PEF, 所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)解 方法一 如图,作PH⊥EF,垂足为H. 由(1)得,PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz. 由(1)可得,DE⊥PE. 又DP=2,DE=1,所以PE=. 5 又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF. 所以PH=,EH=. 则H(0,0,0),P,D, =,=. 又为平面ABFD的法向量, 设DP与平面ABFD所成的角为θ, 则sin θ===. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 方法二 过点P作PH⊥EF,垂足为H,连接DH. 由(1)可得PH⊥平面ABFD, 所以∠PDH即为DP与平面ABFD所成的角. 设PD=2a,则PH=a,所以sin∠PDH==, 即DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 5查看更多