2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第1讲 直线与圆学案
第1讲 直线与圆
[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．
热点一 直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
例1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )
A. B．± C．－ D.
答案 D
解析 因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，
所以tan α＝3，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝
＝＝.
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
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答案 3
解析 由题意得，当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝，
由圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝2，
所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为
d＋r＝2＋＝3.
当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)．
点P到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2.
综上，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为3.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
跟踪演练1 (1)直线ax＋(a－1)y＋1＝0与直线4x＋ay－2＝0互相平行，则实数a＝________.
答案 2
解析 当a≠0时，＝≠，
解得a＝2.
当a＝0时，两直线显然不平行．故a＝2.
(2)圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 B
解析 因为(x－1)2＋2＝2，
所以＝2，所以a＝0.
热点二 圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，
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为半径的圆．
例2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0
B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝9，
圆心为(－2,3)，半径为3.
设圆C的半径为r.
由两圆外切知，圆心距为＝5＝3＋r，
所以r＝2.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
展开得x2＋y2－4x＝0.
(2)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A.2＋(y－1)2＝1
B.2＋2＝1
C.2＋2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为2＋2＝1.故选C.
思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
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当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
答案 x2＋y2－2x＝0
解析 方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d
r⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．
(3)|r1－r2|1＋1，
故两圆外离．
(2)(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)若c∈R，则“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，若直线与圆相切，则有＝1，解得c＝4或c＝－6，所以“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的充分不必要条件，故选A.
思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
跟踪演练3 (1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．
答案 6π
解析 圆C化为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，
且圆心C(a,1)，半径R＝(a2>1)．
∵直线y＝ax与圆C相交，且△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线ax－y＝0的距离为
Rsin 60°＝×，
即d＝＝.
解得a2＝7.
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∴圆C的面积为πR2＝π(7－1)＝6π.
(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3,3)
C．[1,1]
D．[－3，－1]∪[1,3]
答案 D
解析 圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝，所以r－r′≤|a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
真题体验
1．(2016·山东改编)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．
答案 相交
解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1＝a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，
由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
又r1＋r2＝3，r1－r2＝1，
∴r1－r2<|MN|0，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，无最大值．故选B.
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．
答案
解析 联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为
＝(a>0)．
故2＝2，解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.
A组 专题通关
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1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．
2．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
答案 A
解析 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0 与直线l2：mx＋y＋3＝0 的交点为A，M 为PQ 的中点，
若|AM|＝|PQ|，
则PA⊥QA，
即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.
3．(2018·浙江省温州六校协作体联考)直线x＋ay＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A. B．－
C．± D．±
答案 D
解析 因为直线x＋ay＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以圆心(0,0)到直线x＋ay＋2＝0的距离等于圆的半径，即＝1，解得a＝±，故选D.
4．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋2＝2
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B．(x－1)2＋2＝4
C．(x－1)2＋2＝2
D．(x＋1)2＋2＝4
答案 C
解析 圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求圆的半径为，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝0的左上方，则＝，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x－1)2＋2＝2.
5．已知点P是直线l：x＋y－b＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( )
A．2 B．±2 C. D．±
答案 B
解析 由题意得∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，|MO|＝|ON|＝1，
∴四边形PMON是正方形，
∴|PO|＝，
∵满足以上条件的点P有且只有一个，
∴OP垂直于直线x＋y－b＝0，
∴＝，∴b＝±2.
6．(2018·浙江省温州六校协作体联考)过点P(－3,0)作直线2ax＋(a＋b)y＋2b＝0(a，b不同时为零)的垂线，垂足为M，已知点N(2,3)，则当a，b变化时，|MN|的取值范围是( )
A．[5－，5＋] B．[5－，5]
C．[5,5＋] D．[0,5＋]
答案 A
解析 直线2ax＋(a＋b)y＋2b＝0过定点D(1，－2)，因为PM⊥MD，所以点M在以PD为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(－1，－1)，半径为，又因为点N与圆心的距离为＝5，所以|MN|的取值范围为[5－，5＋]，故选A.
7．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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答案 D
解析 由x2＋y2－kx＋2y＝0与x2＋y2＋ky－4＝0，
相减得公共弦所在直线方程为kx＋y－4＝0，
即k(x＋y)－＝0，
所以由得x＝2，y＝－2，
即P，因此2m＋2n－2＝0，
所以m＋n＝1，mn≤2＝(当且仅当m＝n时取最大值)．
8．直线x＋ysin α－3＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是________．
答案
解析 若sin α＝0，则直线的倾斜角为；
若sin α≠0，
则直线的斜率k＝－∈，
设直线的倾斜角为θ，
则tan θ∈，
故θ∈∪ ，
综上可得直线的倾斜角的取值范围是.
9．若过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1,1)
解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，
则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m＋1>0，解得m>－1；
由方程x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0表示圆，
则(－2)2＋22－4(m＋1)>0，解得m<1.
综上，实数m的取值范围是(－1,1)．
10．(2018·宁波模拟)已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得的弦长的最小值为________．
答案 －1 2
解析 当m＝0时，两直线不平行；
当m≠0时，由题意得＝，所以m＝±1.
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当m＝1时，两直线重合，所以m＝1舍去，故m＝－1.
因为圆的方程为x2＋2x＋y2－24＝0，
所以(x＋1)2＋y2＝25，
所以它表示圆心为C(－1,0)，半径为5的圆．
由于直线l：mx－y－1＝0过定点P(0，－1)，
所以过点P且与PC垂直的弦长最短，
且最短弦长为2＝2.
11．(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|＝|PB|，则点P的轨迹方程是____________；轨迹为________．
答案 x2＋y2－12x＋4＝0 以(6,0)为圆心，4为半径的圆
解析 设点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝|PB|，得|PA|2＝2|PB|2，即(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，化简得x2＋y2－12x＋4＝0，方程化为标准方程为(x－6)2＋y2＝32，其表示一个圆．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是________．
答案
解析 设点M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2≤10，
所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，
即x2＋y2－2x－3≤0，
因为(x＋1)2＋y2＝2，所以y2＝2－(x＋1)2，
所以x2＋2－(x＋1)2－2x－3≤0，化简得x≥－.
因为y2＝2－(x＋1)2，所以y2≤，所以－≤y≤.
B组 能力提高
13．已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)且|AB|＝2，过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①＝；②－＝2；③＋＝2.其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 D
解析 根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，并且可以求得A(0，－1)，B(0，＋1)，
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因为M，N在圆O：x2＋y2＝1上，
所以可设M(cos α，sin α)，
N(cos β，sin β)，
所以|NA|＝
＝，
|NB|＝
＝，
所以＝－1，
同理可得＝－1，
所以＝，
－＝－(－1)＝2，
＋＝2，
故①②③都正确．
14．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－4 B．－4≤a≤6
C．a≤－4或a≥6 D．a≥6
答案 D
解析 表示圆上的点到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，表示圆上的点到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，
所以的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以d＝≥1，并且a>0，解得a≥6，故选D.
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15．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距 km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，则垃圾处理站M与B村相距________ km.
答案 2或7
解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)．
由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2＋y2＝25和(x－3)2＋(y－3)2＝31.
由
解得或
∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，
∴|MB|＝2或|MB|＝＝7，
即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.
16．点P(x，y)是直线2x＋y＋4＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，则△PAB面积的最小值为________．
答案
解析 由圆的方程C：x2＋(y－1)2＝1，
可得圆心C(0,1)，半径r＝1，
则圆心到直线2x＋y＋4＝0的距离为d＝＝，
设|PC|＝m，则m≥，
15
则S△PAB＝|PA|2sin 2∠APC
＝|PA|2sin∠APCcos∠APC
＝|PA|2··＝，
令S＝，m≥，
所以S′＝
＝>0，
所以函数S在上单调递增，
所以Smin＝S＝.
即(S△PAB)min＝.
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