高中数学函数解题技巧方法总结高考

高中数学函数解题技巧方法总结高考

高中数学函数知识点总结 ‎1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？‎ ‎ （定义域、对应法则、值域）‎ 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)‎ ‎2. 求函数的定义域有哪些常见类型？‎ ‎ ‎ 函数定义域求法： ‎ l 分式中的分母不为零；‎ l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；‎ l 指数式的底数大于零且不等于一；‎ 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。‎ l 正切函数 ‎ l 余切函数 ‎ l 反三角函数的定义域 函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .‎ 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。‎ ‎3. 如何求复合函数的定义域？‎ ‎ ‎ 义域是_____________。 ‎ 复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。‎ 例 若函数的定义域为，则的定义域为 。‎ 分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。‎ 解：依题意知： ‎ ‎ 解之，得 ‎ ‎∴　的定义域为 ‎4、函数值域的求法 ‎1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。‎ 例 求函数y=的值域 ‎2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。‎ 例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。‎ ‎3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 ‎4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。‎ 例 求函数y=值域。‎ ‎5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。‎ 例 求函数y=，，的值域。‎ ‎6、函数单调性法 ‎ 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=（2≤x≤10）的值域 ‎7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。‎ 例 求函数y=x+的值域。‎ ‎8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。‎ 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，‎ 例求函数y=+的值域。‎ 解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ ‎ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。‎ 由上图可知：当点P在线段AB上时，‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10‎ 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10‎ 故所求函数的值域为：[10，+∞）‎ 例求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+‎ ‎ ‎ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣==，‎ 故所求函数的值域为[，+∞）。‎ 注：求两距离之和时，要将函数 ‎ ‎9 、不等式法 利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。‎ 例：‎ ‎ ‎ ‎10.倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=的值域 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。‎ ‎5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？‎ ‎ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 反函数存在的条件是什么？‎ ‎ （一一对应函数）‎ ‎ 求反函数的步骤掌握了吗？‎ ‎ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：‎ ‎(2004.全国理)函数的反函数是（ B ）‎ ‎ A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)‎ ‎ C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)‎ 当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：‎ 原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.‎ 我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？‎ ‎7. 反函数的性质有哪些？‎ ‎ 反函数性质：‎ 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）‎ 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）‎ 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 ‎ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；‎ ‎ ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 ‎（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.‎ ‎8 . 如何用定义证明函数的单调性？‎ ‎ （取值、作差、判正负）‎ 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：‎ 根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与1的关系 ‎(2)参照图象： ①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数） ②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质： ①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。 ⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减） ⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。‎ f(g)‎ g(x)‎ f[g(x)]‎ f(x)+g(x)‎ f(x)*g(x) 都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 ‎/‎ ‎/‎ 减 增 减 ‎/‎ ‎/‎ 减 减 增 减 减 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴……）‎ ‎9. 如何利用导数判断函数的单调性？‎ ‎ ‎ ‎ 值是（ ）‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴a的最大值为3）‎ ‎10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？‎ ‎ （f(x)定义域关于原点对称）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注意如下结论：‎ ‎ （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11.判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.‎ 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.‎ 三、 复合函数奇偶性 f(g)‎ g(x)‎ f[g(x)]‎ f(x)+g(x)‎ f(x)*g(x)‎ 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 ‎12. 你熟悉周期函数的定义吗？‎ ‎ ‎ 函数，T是一个周期。）‎ ‎ ‎ 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，‎ 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。‎ 如：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 你掌握常用的图象变换了吗？‎ ‎ 联想点（x,y）,(-x,y)‎ ‎ 联想点（x,y）,(x,-y)‎ ‎ 联想点（x,y）,(-x,-y)‎ ‎ 联想点（x,y）,(y,x)‎ ‎ 联想点（x,y）,(2a-x,y)‎ ‎ 联想点（x,y）,(2a-x,0)‎ ‎ ‎ ‎（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）‎ ‎ 注意如下“翻折”变换：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？‎ ‎ (k为斜率，b为直线与y轴的交点)‎ ‎ ‎ 的双曲线。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ‎②求闭区间［m，n］上的最值。‎ ‎ ‎ ‎ ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。‎ ‎ ④一元二次方程根的分布问题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由图象记性质！ （注意底数的限定！）‎ ‎ ‎ ‎ 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）‎ ‎15. 你在基本运算上常出现错误吗？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 如何解抽象函数问题？‎ ‎ （赋值法、结构变换法）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，‎ 2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)‎ 3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1 ‎ 几类常见的抽象函数 ‎ 1. 正比例函数型的抽象函数 ‎ f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）‎ 2. 幂函数型的抽象函数 ‎ f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝‎ 3. 指数函数型的抽象函数 ‎ f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝‎ 4. 对数函数型的抽象函数 f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）‎ 5. 三角函数型的抽象函数 f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝‎ f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝‎ 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.‎ 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.‎ 例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.‎ 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.‎ 例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].‎ ‎（1）判断f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.‎ 分析：（1）令y＝－1；‎ ‎ （2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；‎ ‎ （3）0≤a≤2.‎ 例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：‎ ‎（1）f（0）；‎ ‎(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.‎ 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.‎ 例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.‎ 分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.‎ 例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：‎ （1） f（1）；‎ （2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.‎ 分析：（1）利用3＝1×3；‎ ‎（2）利用函数的单调性和已知关系式.‎ 例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.‎ 分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，‎ 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….‎ ‎ 例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：‎ ① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；‎ ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；‎ ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.‎ ‎ 试问：‎ （1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；‎ （2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.‎ ‎ 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；‎ （3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.‎ ‎ 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.‎ ‎ 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），‎ （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；‎ （2） 求证：f（x）为偶函数；‎ （3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.‎ 分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）‎ （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；‎ （2） 令y＝ －1；‎ （3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.‎ 例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：‎ （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；‎ （2） f（x）在x∈R上是减函数.‎ 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；‎ （3） 受指数函数单调性的启发：‎ 由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，‎ 进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.‎ 练习题：‎ ‎1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）‎ ‎（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 ‎ ‎（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 ‎2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）‎ ‎（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x） ‎ ‎（C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）‎ ‎3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）‎ ‎（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）‎ ‎4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝，则f（x）为（ ）‎ ‎（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 ‎（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 ‎5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）‎ ‎（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 ‎（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：‎ ‎1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B 函数典型考题 ‎1.若函数为偶函数，则的值是 （B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足 的的集合．‎ ‎．解： 在上为偶函数，在上单调递减 在上为增函数 又 ‎ ‎， ‎ 由得 ‎ ‎ 解集为.‎ ‎3.若f(x)是偶函数，它在上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ C ）‎ A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)‎ ‎4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ D ）‎ A. a2>b2 B. <‎1 C. >0 D.< ‎ ‎5.设a,b,c都是正数，且，则下列正确的是　 （B　 ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6．对于函数（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围．‎ ‎7. 二次函数中，，则函数的零点个数是（ C ）‎ A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定 ‎8．若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是（D）‎ A． 和 B． 和 C．和 D．和 ‎ ‎9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（ D ）‎ A 4　　　 　B 3 C 2 D 1‎ ‎10.已知函数f(x2-3)=lg,‎ ‎(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；‎ ‎(3)求f(x)的反函数; (4)若f[]=lgx,求的值。‎ 解：（1）∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+）。‎ ‎（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。‎ ‎（3）由y=lg得x=,x>3,解得y>0, ∴f-1(x)=‎ ‎(4) ∵f[]=lg,∴，解得(3)=6。‎ ‎11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ C ）‎ ‎（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3 （D）y=‎ 零点问题