备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题50 直线与圆锥曲线的位置关系

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题50 直线与圆锥曲线的位置关系

专题50 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明直线与椭圆、直线与抛物线位置关系问题的解法与技巧.‎ ‎（一）直线与椭圆位置关系 ‎1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）‎ ‎2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，‎ 下面以直线和椭圆：为例 ‎（1）联立直线与椭圆方程：‎ ‎（2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：‎ ‎（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ‎① 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 ‎② 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 ‎③ 方程没有实根直线与椭圆相离 ‎3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 ‎（二）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离 ‎1、位置关系的判定：以直线和抛物线：为例 31‎ 联立方程：，整理后可得：‎ ‎（1）当时，此时方程为关于的一次方程，所以有一个实根.此时直线为水平线，与抛物线相交 ‎（2）当时，则方程为关于的二次方程，可通过判别式进行判定 ‎① 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 ‎② 方程有两个相同实根直线与抛物线相切 ‎③ 方程没有实根直线与抛物线相离 ‎2、焦点弦问题：设抛物线方程：，‎ 过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于 联立方程：，整理可得：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）‎ ‎（三）直线与双曲线位置关系 ‎1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 ‎2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定 以直线和椭圆：为例：‎ 31‎ ‎（1）联立直线与双曲线方程：，消元代入后可得：‎ ‎（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为，有可能为零.所以要分情况进行讨论 当且时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交 当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：‎ ‎① 方程有两个不同实根直线与双曲线相交 ‎② 方程有两个相同实根直线与双曲线相切 ‎③ 方程没有实根直线与双曲线相离 注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置.尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切 ‎（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支.对于方程：‎ ‎，设两个根为 ‎① 当时，则，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支 ‎② 当或，且时，，所以同号，即交点位于同一支上 ‎（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同.所以可通过数形结合得到位置关系的判定 31‎ ‎① 且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 ‎② 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上.‎ ‎③ 或时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上.‎ ‎（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：‎ ‎1、直线与圆锥曲线问题的特点：‎ ‎（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），‎ ‎（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂 ‎（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）‎ ‎（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入.则可简化运算的过程 这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入.直至解决解析几何问题“‎ ‎2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系.进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案.所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方.如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地.‎ ‎3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：‎ ‎（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线.联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件 ‎（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线.经常在联立方程后消去 31‎ 时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）.此直线不能直接体现斜率，当时，斜率 ‎4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或 ‎（1）证明：因为在直线上，所以 ‎ ，代入可得：‎ 同理可证得 ‎（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入.‎ ‎5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线.不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：‎ ‎ 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ 31‎ 由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现.所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时.同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法 ‎【经典例题】‎ 例1.【2019年天津卷理】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 不妨设： ，‎ 双曲线的一条渐近线方程为： ，‎ 据此可得： ， ，‎ 则，则，‎ 双曲线的离心率： ，‎ 据此可得： ，则双曲线的方程为.‎ 本题选择C选项.‎ 31‎ 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ 例2.【2019年新课标I卷理】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D 与抛物线方程联立，消元整理得：，‎ 解得，又，‎ 所以，‎ 从而可以求得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.‎ 例3.过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 31‎ 思路二：线段为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点展开，在圆锥曲线中处理弦中点问题可用“点差法”，设，则有，两式作差，可得：，发现等式中出现与中点和斜率相关的要素，其中，所以，且，所以等式化为即，所以 答案：D 点睛：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点.‎ ‎（1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系 ‎（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法 例4.【2019年北京卷文】已知直线l过点（1,0）且垂直于