备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题34 等差数列问题探究

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题34 等差数列问题探究

专题34 等差数列问题探究 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．‎ ‎1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示 ‎2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：‎ ‎（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式 ‎（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 ‎（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数 ‎3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项 ‎ ‎（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即 ‎（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项 ‎（3）如果为等差数列，则 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.‎ 比如，则不一定成立 ‎② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”‎ ‎4、等差数列通项公式与函数的关系：‎ ‎，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，递增；，递减.‎ ‎5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：‎ ‎（1）由可得：‎ 19‎ ‎，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可 ‎（2）由通项公式可得：‎ 作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ‎② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.‎ ‎（3）当时，‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当时 ‎，即偶数项和与中间两项和的联系 ‎6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析 ‎（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即.而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小.由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处.‎ ‎（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值 ‎7、由等差数列生成的新等差数列 19‎ ‎（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列 例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.‎ 如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 ‎（2）已知等差数列，‎ 设，‎ ‎，则相邻项和成等差数列 ‎（3）已知为等差数列，则有：‎ ‎① 为等差数列，其中为常数 ‎② 为等差数列，其中为常数 ‎③ 为等差数列 ‎ ‎①②③可归纳为也为等差数列 ‎8、等差数列的判定：设数列，其前项和为 ‎（1）定义（递推公式）：‎ ‎（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）‎ ‎（3）前项和公式：‎ 注：若，则从第二项开始呈现等差关系 ‎（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项 ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，‎ 19‎ ‎，联立解得，故选C.‎ 秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎ 例2. 【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.‎ 19‎ 例3.【2019届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 13‎ ‎【答案】B 点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.‎ 例4.【2019届浙江省模拟测试】在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时， 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出， ，由此能求出时， 的最小值．‎ 详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值 ∴公差，首项， 为递增数列 ∵‎ ‎∴， 由等差数列的性质知： ， . ∵‎ 19‎ ‎∴当时， 的最小值为16．‎ 故选C.‎ 例5.【2019届华大新高考联盟4月检测】已知等差数列的前项和为，若是一个与无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据等差数列的前项和公式计算出与，进而表达，再结合题中的条件以及分式 故选C.‎ 点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前项和公式，以及熟练掌握分式的性质．‎ 例6.【2019届东北师大附中四模】《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）‎ A. 15 B. 16 C. 18 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.‎ 详解：设第一个人分到的橘子个数为，‎ 19‎ 由题意得，解得，‎ 则，故选C.‎ 点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.‎ 例7．【2019届山西省孝义市一模】设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析: 由等差数列的求和公式可得首项，tanantanan+1=﹣1=﹣1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和．‎ ‎=（tana8﹣tana7）﹣7=（tan﹣tan）﹣7‎ ‎=（tan﹣tan）﹣7‎ ‎=（tan（）﹣tan（））﹣7‎ 19‎ ‎=（）﹣7= ．‎ 故选C．‎ 点睛:解答本题的关键是化简,求和首先要看通项的特征, tanantanan+1=﹣1=﹣1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.‎ 例8.【2019届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷（三）】已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ 例9.【2019届福建省三明市5月测试】已知正项数列的前n项和为，，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ 19‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由与的关系，求出数列的通项公式；（2）由，利用累加法得到，从而＝，利用裂项相消法求和即可.‎ 详解：（1）因为，且，‎ 所以，所以． ‎ 所以 …①，‎ 当时，有 …②，‎ ‎①、②两式作差得， ‎ 所以＝＝，‎ 所以＝＝，‎ 19‎ ‎＝．‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 例10.【2019届上海市徐汇区二模】已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；‎ ‎(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．‎ ‎【解析】试题分析：(1)由题意，易知数列为等差数列，求出，再由通项公式与前和关系，从而求出数列的通项公式；由条件，易知数列为等差数列，再由等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式；‎ ‎(2)由(1)可得与，根据题意，可对进行分类，求得该数列前项和与参数的表达式，‎ 19‎ 从而问题可得解.‎ ‎(3)由(1)易得数列的通项公式，由等差数列的中项公式及数列通项公式的性质，从而得到其下标的关系式，针对所得式子进行化简整理，并对其进行分类讨论，从而问题可得解，详见解析.‎ 试题解析： (1)因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ 所以，即，‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎；- ‎ 当时，‎ ‎；- ‎ 所以，其中．--‎ ‎ (3)由(1)可知，.‎ 19‎ 若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，-- ‎ 于是，‎ 所以 ‎，即，-- ‎ 则对任意的，能整除，且.‎ 由于当时，中存在多个质数，‎ 所以只能取1或或-- ‎ 若，则，，于是 ‎，符合；- ‎ 若，则，矛盾，舍去；- ‎ 若，则，于是，矛盾． ‎ 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届吉林省梅河口市第五中学二模】在公差为2的等差数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于进行计算．‎ 详解：由题意得．‎ 故选B．‎ 点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注意整体代换的运用． ‎ ‎2．【2019届广东省佛山市检测二】已知等差数列的前项为且 19‎ ‎，则 ( )‎ A. 90 B. 100 C. 110 D. 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：‎ 点睛：‎ 等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如是等差数列，则是等比数列，如是等比数列且均为正，则是等差数列.‎ ‎3.【2019届广东省模拟二】已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.‎ 详解：根据题意可知，‎ 19‎ 式子的每一项都除以，可得，‎ 点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果.‎ ‎4．【2019届宁夏石嘴山市4月一模】《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.‎ ‎5．【2019届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟（三）】已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）‎ A. -3 B. -5 C. -6 D. -9‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，和可得，进而得公差，由可得，从而的通项公式，进而利用可得解.再通过构造函数求导，结合函数单调性及变量为正整数，即可得最值.‎ 详解：由可知，‎ 19‎ ‎∵，且，，∴，故选D.‎ 点睛：求等差数列前项和最值的三种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前项和的函数表达式通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎（1）当时，满足的项数使得取得最大值为；‎ ‎②当时，满足的项数使得取得最小值为.‎ ‎(3)通项公式法：求使 ()成立时最大的值即可．一般地，等差数列中，若，且，则：①若为偶数，则当时，最大；②若为奇数，则当或时，最大．‎ ‎6．【2019届浙江省宁波市5月模拟】已知数列与均为等差数列（），且，则 ‎____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先设，再通过分析为等差数列得到d=2,最后求出找到答案.‎ 详解：设，‎ 19‎ 所以，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题的关键是对数列与均为等差数列的转化，这里利用到了等差数列的一个性质，等差数列的通项是一个关于n的一次函数，根据这个性质得到d的值，后面 就迎刃而解了.‎ ‎7．已知等差数列的前项和为， ， ，当=_______时， 有最小值.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：利用等差数列的与的关系，得到当，进而得到时， ，当时， ，当时， ，即可得到结论．‎ 详解：由，则，‎ 由等差数列的性质可得，即，‎ 又因为，‎ 所以当时， ，当时， ，当时， ，‎ 所以大概或时， 有最小值．‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的与的关系，及前项和的最值问题，解答中根据等差数列的 19‎ 与的关系，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎8．【2019届福建省三明市5月检测】在等差数列中，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果.‎ 详解：由题意结合和差化积公式可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 据此可得：0.‎ 点睛：本题主要考查和差化积公式及其应用，等差数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．【2019届安徽省合肥市三模】设等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：因为等差数列的公差为，前项和为，若数列也是公差为的等差数列，可得，时， 时列方程组可得，联立解出即可得出. ，进而可得结果.‎ 详解：等差数列的公差为，前项和为，‎ 19‎ 若数列也是公差为的等差数列，‎ ‎，，‎ 故答案为或.‎ ‎10.【2019届安徽省合肥市三模】已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.‎ ‎【答案】3027‎ ‎【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.‎ 详解：数列为等差数列，可设，化为，‎ ‎，‎ 联立解得：，则，故答案为.‎ ‎11．【2019届江苏省苏锡常镇四市高三调研二】已知公差为的等差数列的前项和为，若，则 19‎ ‎____．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：先化简已知,得到再代入化简即得.‎ 详解：由题得 ‎ ‎，故答案为：2‎ ‎12．【2019年5月2019届第三次全国大联考】已知函数的图象过点和点，若数列的前项和，数列的前项和为，则使得成立的最小正整数____________．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】因为的图象过点和点，所以，解得，所以 令，即，解得（舍去）或，‎ 所以使得成立的最小正整数．‎ 19‎