金版教程高考文科数学二轮复习训练1532 圆锥曲线中的定点定值和最值问题doc
1．[2015·山西质监]已知动点Q与两定点(－，0)，(，0)连线的斜率的乘积为－，点Q形成的轨迹为M.
(1)求轨迹M的方程；
(2)过点P(－2,0)的直线l交M于A，B两点，且＝3，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．
解 (1)设Q(x，y)，则·＝－(x≠±)，
化简得轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠±)．
(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my－2，
代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0，
Δ＝8(m2－2)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，①y1y2＝.②
由＝3得，y2＝3y1.③
由①②③可得m2＝4.经检验，满足Δ>0.
不妨取m＝2，设直线CD的方程为x＝2y＋n，代入椭圆方程得6y2＋4ny＋n2－2＝0，Δ＝8(6－n2)，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y3＋y4＝－n，y3y4＝，
又由已知及Δ>0，可得2
0)的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
解 (1)由已知得K，C(2,0)．
设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝.
于是|CR|＝＝，
所以|CK|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)①证明：设直线AB的方程为x＝my＋t，A、B，
联立得y2－4my－4t＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.
由·＝得：＋y1y2＝⇒y1y2＝－18或y1y2＝2(舍去)，
即－4t＝－18⇒t＝，所以直线AB过定点Q；
②由①得|AB|＝|y2－y1|＝·，
同理得，|GD|＝|y2－y1|＝·，
则四边形AGBD面积S＝|AB|·|GD|＝·
＝4
令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝4是关于μ的增函数，
故Smin＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88.
3．[2015·洛阳统考]设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)上点N(x0，y0)处切线方程为＋＝1.若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
解 (1)由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，
∵k1k2＝－，∴·＝－，即＝－.
∵M(x，y)在椭圆E上，∴＋＝1，
∴＝－，∴＝，∴a2＝2b2.
又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1.
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)，
则切线方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1.
∵两切线均过点P，
∴＋ty1＝1，＋ty2＝1，即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1，
∴直线CD的方程为x＋ty＝1.
对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)．
4．[2015·大连双基测试]已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．
解 (1)设直线l1的方程为：x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程，得y2－2pmy－4p＝0，y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－4p.
k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝0.
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，当x＝－2时，yM＝，
同理yN＝.
因为·＝2，所以4＋yNyM＝2，·＝－2，
＝－2，
＝－2，
p＝，抛物线C的方程为y2＝x.
5．[2015·贵阳监测]已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.
(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；
(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求·的最小值．
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由题意得c＝，2a＝＋＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋x2＝1.
∴右顶点F的坐标为(1,0)．
设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝1,2p＝4，∴抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－(x－1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、G(x3，y3)、H(x4，y4)．
由消去y得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴Δ＝4k4＋16k2＋16－4k4>0，x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
同理x3＋x4＝4k2＋2，x3x4＝1，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝|x1＋1|·|x2＋1|＋|x3＋1|·|x4＋1|
＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝8＋＋4k2
≥8＋2＝16，
当且仅当＝4k2，即k＝±1时，·有最小值16.
6．[2015·贵州八校联考(二)]过椭圆＋＝1的右焦点F作斜率k＝－1的直线交椭圆于A，B两点，且＋与a＝共线．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上任意一点，且＝m＋n(m，n∈R)，证明：m2＋n2为定值．
解 (1)设AB：y＝－x＋c，直线AB交椭圆于两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)
⇒b2x2＋a2(－x＋c)2＝a2b2，(b2＋a2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0
x1＋x2＝，x1x2＝，
＋＝(x1＋x2，y1＋y2)与a＝共线，
3(y1＋y2)－(x1＋x2)＝0,3(－x1＋c－x2＋c)－(x1＋x2)＝0，即
x1＋x2＝，a2＝3b2，c＝＝，e＝＝.
(2)证明：a2＝3b2，椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，设M(x，y)为椭圆上任意一点，＝(x，y)，＝m＋n，(x，y)＝(mx1＋nx2，my1＋ny2)，点M(x，y)在椭圆上，(mx1＋nx2)2＋3(my1＋ny2)2＝3b2，即m2(x＋3y)＋n2(x＋3y)＋2mn(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
∴x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2，
x1x2＝＝c2，
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(－x1＋c)(－x2＋c)＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0，
将x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2代入得
3b2m2＋3b2n2＝3b2，即m2＋n2＝1.
