高考数学向量专题复习专题训练

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高考数学向量专题复习专题训练

高考《向量》专题复习 ‎1.向量的有关概念:‎ ‎(1)向量的定义:既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。‎ ‎(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:.‎ ‎(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。‎ 任意向量的单位化:与共线的单位向量是.‎ ‎(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。‎ ‎(5)平行向量又叫共线向量,记作:∥.‎ ①向量与共线,则有且仅有唯一一个实数,使;‎ ‎②规定:零向量和任何向量平行;‎ ‎③两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;‎ ‎④平行向量无传递性!(因为有);‎ ‎⑤相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;‎ ‎(6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则;‎ ‎2.平面向量的坐标表示及其运算:‎ ‎(1)设,,则;‎ ‎(2)设,,则;‎ ‎(3)设、两点的坐标分别为,,则=;‎ ‎(4)设,,向量平行;‎ ‎(5)设两个非零向量,,则,‎ 所以;‎ ‎(6)若,则;‎ ‎(7)定比分点:设点是直线上异于的任意一点,若存在一个实数,使 ‎,则叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以定比为的定比分点;当分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为.‎ 注意:①设、,分有向线段所成的比为,则, ‎ 在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些 点确定对应的定比.当时,就得到线段的中点公式.‎ ‎②的符号与分点的位置之间的关系:‎ 当点在线段上时;‎ 当点在线段的延长线上时 ;‎ 当点在线段的反向延长线上时;‎ ‎3.平面向量的数量积:‎ ‎(1)两个向量的夹角:对于非零向量、,作,,称为向量、的夹角。‎ ‎(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量、,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.‎ 零向量与任一向量的数量积是0,注意:向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。‎ ‎(3)在上的投影为,投影是一个实数,不一定大于0.‎ ‎(4)的几何意义:数量积等于与在上的投影的乘积。‎ ‎(5)向量数量积的应用:设两个非零向量、,其夹角为,则,‎ 当时,为直角;‎ 当时,为锐角或同向;注意:是为锐角的_____________条件;‎ 当时,为钝角或反向;注意:是为钝角的_____________条件;‎ ‎(6)向量三角不等式:‎ 当同向,;‎ 当反向,;‎ 当不共线;‎ ‎4.平面向量的分解定理 ‎(1)平面向量分解定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使成立,我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎(2)O为平面任意一点,A、B、C为平面另外三点,则A、B、C三点共线且.‎ ‎5.空间向量 空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示有x,y,z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可进行类比学习。‎ 如,若、、三个向量共面,则.同时,对于空间任意一点O,存在,其中=_____________‎ 例1.下列命题: ①若a与b共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa; ②若向量a‎、‎b所在的直线为异面直线,则向量a‎、‎b一定不共面; ③向量a、b、c共面,则它们所在直线也共面; ④若A、B、C三点不共线,O是平面ABC外一点,若OM‎=‎1‎‎3‎OA+‎1‎‎3‎OB+‎‎1‎‎3‎OC,则点M一定在平面ABC上,且在内部;‎ ⑤若,且,则 ; ⑥若,则它们的夹角为锐角; 其中正确的命题有__________________(填序号)‎ 例2.已知向量a,b夹角为π‎3‎,|b|=2,对任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,则|tb-a|+|tb-a‎2‎|(t∈R)的最小值是______________‎ 例3.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E、F分别是AB、AC上的点,且AE‎=λAB,AF=μAC,且λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1,若线段EF、BC的中点分别为M、N,则MN的最小值为_____________‎ 例4.已知平面向量a,b,c满足|a|=‎2‎,|b|=1,a•b=-1,且a-c与b-c的夹角为π‎4‎,则|c|的最大值为______________‎ 变式训练:‎ ‎1.已知向量a=(-1,-2),b=(1,λ),若a,b的夹角为钝角,则λ的取值范围是_____________‎ ‎2.在△ABC中,|AB|=5,|AC|=6,若B=2C,则向量BC在BA上的投影是_________‎ ‎3.如图,在中,已知∠BAC=π‎3‎,|AB|=2,|AC|=3,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则|BE|=______________‎ ‎4.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB=1,EF=‎‎2‎,CD=‎3‎.若AD‎⋅BC=15‎,则AC‎⋅‎BD的值为_____________‎ ‎5.向量a‎,‎b的夹角为120°,|a|=|b|=2,|c|=4,则|a+b-c|的最大值为__________‎ ‎6.已知O是面α上一定点,A,B,C是平面α上的三个顶点,∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________(填序号)‎ ‎①动点P满足OP=OA+PB+PC,则的外心一定在满足条件的P点集合中; ②动点P满足OP=OA+λ(AB‎|AB|‎+AC‎|AC|‎)(λ>0),则的内心一定在满足条件的P点集合中; ③动点P满足OP=OA+λ(AB‎|AB|sinB+AC‎|AC|sinC)(λ>0),则的重心一定在满足条件的P点集合中; ④动点P满足OP=OA+λ(AB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC)(λ>0),则的垂心一定在满足条件的P点集合中; ⑤动点P满足OP=OB‎+‎OC‎2‎+λ(AB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC)(λ>0),则的外心一定在满足条件的P点集合中;‎ ‎7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且∠A=,若cosBsinCAB‎+cosCsinBAC=2mAO,‎ 则m=_____________‎ ‎8.(2017全国)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA•(PB+PC)的最小值是_______‎ ‎9.在中,点A在OM上,点B在ON上,且AB//MN,2OA=OM,若OP=xOA+yOB,则终点P落在四边形ABNM内(含边界)时,y+x+2‎x+1‎的取值范围为____________ ‎ ‎10.如图,在直角坐标系中,△ABC是以(2,1)为圆心,1为半径的圆的内接正三角形,‎ ‎△ABC可绕圆心旋转, M、N分别是边AC、AB的中点,的取值范围是_____________‎ ‎11.如图,已知点P(2,0),且正方形ABCD内接于⊙O:x2+y2=1,M、N分别为边AB、BC的中点.当正方形ABCD绕圆心O旋转时,PM‎⋅‎ON的取值范围为_________‎ ‎12.如图,矩形ORTM内放置5个边长均为‎3‎的小正方形,其中A,B,C,D在矩形的边上,且E为AD的中点,则(AE-BC)•BD= ______ ‎ ‎13.(2017浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则( )‎ A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3‎ ‎14.在坐标系中,O点坐标为(0,0),点A(3,4),点B(-4,3),点P在∠AOB的角平分线上,且OP长度为,则点P坐标为_____________‎ ‎15.(2017浙江)已知向量,满足,,则的最小值是 ,最大值是 ‎ ‎16.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…P10,记=,则m1+m2+…+m10的值为_____________‎ ‎17.已知向量、满足||=1,||=2,若对任意单位向量,均有|•|+|•|≤,则当取最小值时,向量与的夹角为_________________(用反三角表示)‎ ‎18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆,从、、、…、这12个向量中任取两个,记它们的数量积为S,则S的最大值等于_________________‎ ‎19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1,若P点在正方体的内部且满足AP‎=‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎2‎AD+‎‎2‎‎3‎AE,则P点到直线AB的距离为_________‎ ‎20.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为____________‎
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