辽宁省大连市高三高考理科数学第一次模拟考试试题及答案word

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辽宁省大连市高三高考理科数学第一次模拟考试试题及答案word

辽宁省大连市 2015 届高三第一次模拟考试数学(理)试题 第 I 卷 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) (1)已知集合 { 1 1}A x x    , 2{ 2 0}B x x x   ,则 A B  ( ) (A) [ 1,0] (B) [ 1,0] (C) [0,1] (D) ( ,1] [2, )  (2)设复数 1z i  (i 是虚数单位),则 22 zz  =( ) (A)1 i (B)1 i (C) 1 i  (D) 1 i  (3)已知 1, 2a b  ,且 ( )a a b  ,则向量 a 与向量b 的夹角为( ) (A) 6  (B) 4  (C) 3  (D) 2 3  (4)已知 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 , ,a b c ,若 2 2 2a b c bc   , 4bc  ,则 ABC 的面积 为( ) (A) 1 2 (B)1 (C) 3 (D)2 (5)已知  2,0,1,3,4a  ,  1,2b ,则函数 2( ) ( 2)f x a x b   为增函数的概率是( ) (A) 2 5 (B) 3 5 (C) 1 2 (D) 3 10 (6)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为 11 12 ,则判断框中填写的内容可以是( ) (A) 6n  (B) 6n  (C) 6n  (D) 8n  (7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的体积为( ) (A) 32 3 (B) 64 (C) 32 3 3 (D) 64 3 (8)已知直线 2 2( 1)y x  与抛物线 :C xy 42  交于 BA, 两点,点 ),1( mM  ,若 0 MBMA ,则 m ( ) (A) 2 (B) 2 2 (C) 2 1 (D) 0 (9)对定义在[0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x 称为 M 函数,① 对任意的 [0,1]x , 恒有 ( ) 0f x  ;② 当 1 2 1 20, 0, 1x x x x    时,总有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   成立,则下列函 数不是 M 函数的是( ) (A) 2( )f x x (B) ( ) 2 1xf x   (C) 2( ) ln( 1)f x x  (D) 2( ) 1f x x  (10)在平面直角坐标系中,若 ( , )P x y 满足 4 4 0 2 10 0 5 2 2 0 x y x y x y            ,则当 xy 取得最大值时,点 P 的坐标是( ) (A) (4,2) (B) (2,2) (C) (2,6) (D) 5( ,5)2 (11) 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     与函数 ( 0)y x x  的图象交于点 P ,若函数 y x 在 点 P 处的切线过双曲线左焦点 ( 1,0)F  ,则双曲线的离心率是( ) (A) 5 1 2  (B) 5 2 2  (C) 3 1 2  (D) 3 2 (12)若对 , [0, )x y   ,不等式 2 24 2x y x yax e e      恒成立,则实数 a 的最大值是( ) (A) 1 4 (B)1 (C)2 (D) 1 2 第 II 卷 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)函数 1 3sin cos2 2y x x  ( [0, ]2x  )的单调递增区间是__________. (14) 61 2x x     的展开式中常数项为 . (15) 已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 在[0, ) 单调递增,且 (1) 0f  ,则不等式 ( 2) 0f x  的解集 是 . (16)同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为 a,球的半径为 R.设两个 正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、  ,则 tan( )  的值是 . 三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 中, 1 1a  ,其前 n 项的和为 nS ,且满足 22 2 1 n n n Sa S   ( 2)n  . (Ⅰ) 求证:数列 1 nS       是等差数列; (Ⅱ) 证明:当 2n  时, 1 2 3 1 1 1 3...2 3 2nS S S Sn      . (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB= 60 ,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 ,E F 分别为为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 PEC ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. (19)(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投中的次数统 计如下表: 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代表自己的班级参加比赛, 每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和Y ,试求 X 和Y 的分布列和数学 期望. (20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的上顶点为 (0,1) ,且离心率为 3 2 ,. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程; (Ⅱ)证明:过椭圆 1C : 2 2 2 2 1( 0)x y m nm n     上一点 0 0( , )Q x y 的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   ; (Ⅲ)以圆 2 2 16x y  上一点 P 向椭圆C 引两条切线,切点分别为 ,A B ,当直线 AB 分别与 x 轴、 y 轴 交于 M 、 N 两点时,求 MN 的最小值. (21)(本小题满分 12 分) 若定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xff x e x f x    , 21( ) ( ) (1 )2 4 xg x f x a x a     , (Ⅰ)求函数 ( )f x 解析式; (Ⅱ)求函数 ( )g x 单调区间; (Ⅲ)若 x 、y 、m 满足| | | |  x m y m ,则称 x 比 y 更接近 m .当 2a  且 1x  时,试比较 e x 和 1xe a  哪个更接近 ln x ,并说明理由。 C B D A O 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆O 的直径, BC ,CD 为 圆O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: OCAD // ; (Ⅱ)若圆O 的半径为 2,求 OCAD 的值. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为        sin24 cos23 y x ( 为参数) (Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 ( 2,0), (0,2)A B ,圆C 上任意一点 ),( yxM ,求 ABM 面积的最大值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ( ) 2 2 2f x x x    . (Ⅰ)求不等式 2)( xf 的解集; (Ⅱ)若 Rx  , 2 7( ) 2f x t t  恒成立,求实数t 的取值范围. 2015年大连市高三一模测试 数学(理科)参考答案与评分标准 一.选择题 (1)C;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B;(6)C;(7)D;(8)B;(9)D;(10)D;(11) A; (12)D. 二.填空题 (13)[0, ]6  ;(14) 5 2  ;(15) ( ,1] [3, )  ;(16) 4 3 3 R a  . 三.解答题 (17)解:(Ⅰ)当 2n  时, 2 1 2 2 1 n n n n SS S S   , 1 12n n n nS S S S   1 1 1 2 n nS S    ,从而 1 nS       构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列。6 分 (Ⅱ)由(1)可知, 1 1 1 ( 1) 2 2 1 n n nS S       , 1 2 1nS n    当 2n  时, 1 1 1 1 1 1 1 1( )(2 1) (2 2) 2 ( 1) 2 1nSn n n n n n n n n          从而 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3... 1 (1 )2 3 2 2 2 3 1 2 2 2nS S S Sn n n n                (18)解:(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点,∴ CDFM 2 1 . ∵ 2 1k ,∴ FMABAE  2 1 , ∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM, ∵ AF PEC EM PEC 平面 , 平面 , ∴ 直 线 AF // 平 面 PEC. ……………6 分 (Ⅱ) 60DAB   , DE DC  如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( 3 2 ,0,0), A( 3 2 , 1 2  ,0), 3 1( , ,0)2 2B ∴ 3 1, ,12 2AP        ,  0,1,0AB  . 设平面 PAB 的一个法向量为  , ,n x y z . ∵ 0n AB   , 0n AP   ,∴ 2 2 02 2 0 x y z y       ,取 1x  ,则 3 2z  , ∴平面 PAB 的一个法向量为 3(1,0, )2n  . ∵ (0,1, 1)PC   ,∴设向量 n PC  与 所成角为 ,∴ 3 422cos 147 24 n PC n PC           , ∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为 42 14 ..……………12 分 (19)解:解:(Ⅰ)两个班数据的平均值都为 7, 甲班的方差 2 2 2 2 2 2 1 6-7 + -7 + -7 + -7 + -7 =25s ( ) (5 ) (7 ) (9 ) (8 ) , 乙班的方差 2 2 2 2 2 2 2 -7 + -7 + -7 + -7 + -7 14=5 5s (4 ) (8 ) (9 ) (7 ) (7 ) , 因为 2 2 1 2s s ,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定. (Ⅱ) X 可能取 0,1,2 2 1 1( 0) 5 2 5P X     , 3 1 2 1 1( 1) 5 2 5 2 2P X       , 3 1 3( 2) 5 2 10P X     , 所以 X 分布列为: X 0 1 2 P 1 5 1 2 3 10 数学期望 1 1 3 110 1 25 2 10 10EX        Y 可能取 0,1,2 3 1 3( 0) 5 5 25P Y     , 3 4 2 1 14( 1) 5 5 5 5 25P Y       , 2 4 8( 2) 5 5 25P Y     , 所以Y 分布列为: Y 0 1 2 P 3 25 14 25 8 25 数学期望 3 14 8 60 1 225 25 25 5EY        (20)解:(Ⅰ) 1b  , 3= 2 ce a  , 2, 1a b   , 椭圆C 方程为 2 2 14 x y  。 2 分 (Ⅱ)法一:椭圆 1C : 2 2 2 2 1x y m n   ,当 0y  时, 2 21 xy n m   , 故 2 2 2 1 1 nxy m x m      , 当 0 0y  时, 2 0 0 02 2 22 0 00 2 1 1 1 xn n nk x x ym m m yx nm          。 4 分 切线方程为   2 0 0 02 0 xny y x xm y      , 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0n x x m y y m y n x m n    , 0 0 2 2 1x x y y m n   。 6 分 同理可证, 0 0y  时,切线方程也为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 当 0 =0y 时,切线方程为 x m  满足 0 0 2 2 1x x y y m n   。 综上,过椭圆上一点 0 0( , )Q x y 的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 7 分 解法 2. 当斜率存在时,设切线方程为 y kx t  ,联立方程: 2 2 2 2 1x y m n y kx t       可得 2 2 2 2 2 2( )n x m kx t m n   ,化简可得: 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0n m k x m ktx m t n     ,① 由题可得: 4 2 2 2 2 2 2 2 24 4 ( )( ) 0m k t m n m k t n      , 4 分 化简可得: 2 2 2 2t m k n  , ①式只有一个根,记作 0x , 2 2 0 2 2 2 m kt m kx n m k t     , 0x 为切点的横坐标, 切点的纵坐标 2 0 0 ny kx t t    ,所以 2 0 2 0 x m k y n   ,所以 2 0 2 0 n xk m y   , 所以切线方程为: 2 0 0 0 02 0 ( ) ( )n xy y k x x x xm y       , 化简得: 0 0 2 2 1x x y y m n   。 6 分 当切线斜率不存在时,切线为 x m  ,也符合方程 0 0 2 2 1x x y y m n   , 综上: 2 2 2 2 1x y m n   在点 0 0( , )x y 处的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 (其它解法可酌情给分) 7 分 ( Ⅲ ) 设 点 P ( , )p px y 为 圆 2 2 16x y  上 一 点 , ,PA PB 是 椭 圆 2 2 14 x y  的 切 线 , 切 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,过点 A 的椭圆的切线为 1 1 14 x x y y  ,过点 B 的椭圆的切线为 2 2 14 x x y y  。 两切线都过 P 点, 1 2 1 21, 14 4 p p p p x x x xy y y y     。 切点弦 AB 所在直线方程为 14 p p xx yy  。 9 分 1(0 ) p M y  , , 4( ,0) p N x , 2 2 2 2 2 2 2 16 1 16 1= 16 p p p p p p x yMN x y x y           2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 25= 17 16 17 2 1616 16 16 p p p p p p p p x y x y y x y x                    。 当且仅当 2 2 2 216p p p p x y y x  ,即 2 264 16,5 5P Px y  时取等, 5 4MN  , MN 的最小值为 5 4 . 12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 2 2'( ) '(1) 2 2 (0)xf x f e x f   ,所以 '(1) '(1) 2 2 (0)f f f   ,即 (0) 1f  . 又 2(1)(0) 2 ff e  ,所以 2'(1) 2f e , 所以 2 2( ) 2xf x e x x   . (2) 2 2( ) 2xf x e x x   , 2 2 21 1 1( ) ( ) (1 ) (1 ) ( 1)2 4 4 4 x xxg x f x a x a e x x x a x a e a x                .……………5 分 ( ) xg x e a   , ①当 0a≤ 时, ( ) 0g x  ,函数  f x 在 R 上单调递增; .……………6 分 ②当 0a  时,由 ( ) 0xg x e a    得 lnx a , ∴  ,lnx a  时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递减;  ln ,x a  时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递增. 综上,当 0a≤ 时,函数 ( )g x 的单调递增区间为 ( , )  ;当 0a  时,函数 ( )g x 的单调递增区间为  ln ,a  ,单调递减区间为 ,ln a . .……………8 分 (3)(Ⅲ)解:设 1( ) ln , ( ) lnxep x x q x e a xx      ,  2 1'( ) 0ep x x x     , ( )p x 在 [1, )x  上为减函数,又 ( ) 0p e  , 当1 x e  时, ( ) 0p x  ,当 x e 时, ( ) 0p x  .  1 1'( ) xq x e x   , 1 2 1''( ) 0xq x e x    ,  '( )q x 在 [1, )x  上为增函数,又 '(1) 0q  ,  [1, )x  时, '( ) 0q x  , ( )q x 在 [1, )x  上为增函数,  ( ) (1) 2 0q x q a    . ①当1 x e  时, 1| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) xep x q x p x q x e ax       , 设 1( ) xem x e ax    ,则 1 2'( ) 0xem x ex     , ( )m x 在 [1, )x  上为减函数,  ( ) (1) 1m x m e a    ,  2a  , ( ) 0m x  , | ( ) | | ( ) |p x q x , e x 比 1xe  更接近 ln x . ②当 x e 时, 1 1| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) 2ln 2lnx xep x q x p x q x x e a x e ax              , 设 1( ) 2ln xn x x e a   ,则 12'( ) xn x ex   , 1 2 2''( ) 0xn x ex     ,  '( )n x 在 x e 时为减函数, 12'( ) '( ) 0en x n e ee     ,  ( )n x 在 x e 时为减函数, 1( ) ( ) 2 0en x n e a e      ,  | ( ) | | ( ) |p x q x , e x 比 1xe  更接近 ln x . 综上:在 2, 1a x  时, e x 比 1xe  更接近 ln x . 12 分 (22) 解: (1)连接 CDCBODBD ,,,  是圆O 的两条切线, OCBD  , 90 DOCODB , 又 AB 为 圆 O 的 直 径 , DBAD  , 90 ODBADO ODAOAD  , DOCOAD  ,即得证, 5 分 (2) ODAO  , DOCDAO  , BADRt ∽ COD , 8AD OC AB OD    10 分 (23)解:(1)圆C 的参数方程为        sin24 cos23 y x ( 为参数) 所以普通方程为 4)4()3( 22  yx ---------------2 分 圆C 的极坐标方程: 021sin8cos62   ---5 分 (2)点 ),( yxM 到直线 AB 02  yx 的距离为-------6 分 2 |9sin2cos2|  d -------------7 分 ABM 的面积 |9)4sin(22||9sin2cos2|||2 1  dABS | ------9 分 所以 ABM 面积的最大值为 229  ------------10 分 (24) 解:(1) 4, 1 ( ) 3 , 1 2 4, 2 x x f x x x x x            ,-----2 分 当 1, 4 2, 6, 6x x x x          当 2 21 2,3 2, , 23 3x x x x        当 2, 4 2, 2, 2x x x x       综上所述 2| 63x x x      或 .----------------------5 分 (2)易得 min( ) ( 1) 3f x f    ,若 Rx  , ttxf 2 11)( 2  恒成立, 则只需 2 2 min 7 3( ) 3 2 7 6 0 22 2f x t t t t t           , 综上所述 3 22 t  .------------------------------10 分
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