高考数学必考难点圆锥曲线的知识点梳理

高考数学必考难点圆锥曲线的知识点梳理

高考数学必考难点：圆锥曲线知识点梳理 一、 方程的曲线：‎ 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。‎ 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。‎ 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。‎ 二、圆：‎ ‎1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.‎ ‎2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2‎ ‎ 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2‎ ‎(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=‎ ‎②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);‎ ‎③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.‎ （3） 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。‎ （4） 直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。‎ ‎②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。‎ 三、圆锥曲线的统一定义：‎ 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。‎ 四、椭圆、双曲线、抛物线：‎ 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ‎1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 ‎2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）‎ 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.‎ 轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝‎ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.‎ ‎=±2a,｜F2F2｜＞2a}.‎ 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.‎ 图形 方 程 标准方程 ‎(>0)‎ ‎(a>0,b>0)‎ 参数方程 ‎(t为参数)‎ 范围 ‎─a£x£a，─b£y£b ‎|x| ³ a，yÎR x³0‎ 中心 原点O（0，0）‎ 原点O（0，0）‎ 顶点 ‎(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)‎ ‎(a,0), (─a,0)‎ ‎(0,0)‎ 对称轴 x轴，y轴；‎ 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;‎ 实轴长2a, 虚轴长2b.‎ x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0)‎ F1(c,0), F2(─c,0)‎ 准 线 x=±‎ 准线垂直于长轴，且在椭圆外.‎ x=±‎ 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.‎ x=-‎ 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.‎ 焦距 ‎2c （c=）‎ ‎2c （c=）‎ 离心率 e=1‎ ‎【备注1】双曲线：‎ ‎⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.‎ ‎⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.‎ ‎⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.‎ ‎【备注2】抛物线：‎ ‎（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-　，开口向上；‎ 抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.‎ ‎（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 ‎（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.‎ ‎（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).‎ 五、坐标的变换：‎ ‎（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.‎ ‎（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。‎ ‎（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或 ‎ 叫做平移(或移轴)公式.‎ （4） 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：‎ ‎ 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 ‎+=1‎ ‎(±c+h,k)‎ x=±+h x=h y=k ‎+ =1‎ ‎(h,±c+k)‎ y=±+k x=h y=k 双曲线 ‎-=1‎ ‎(±c+h,k)‎ x=±+k x=h y=k ‎-=1‎ ‎(h,±c+h)‎ y=±+k x=h y=k 抛物线 ‎(y-k)2=2p(x-h)‎ ‎(+h,k)‎ x=-+h y=k ‎(y-k)2=-2p(x-h)‎ ‎(-+h,k)‎ x=+h y=k ‎(x-h)2=2p(y-k)‎ ‎(h, +k)‎ y=-+k x=h ‎(x-h)2=-2p(y-k)‎ ‎(h,- +k)‎ y=+k x=h 六、椭圆的常用结论：‎ 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ 6. 若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,( ,).‎ 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP ‎ 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 1. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 2. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ 3. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是；‎ ‎【推论】：‎ ‎1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ ‎2、过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ ‎3、若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.‎ ‎4、设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.‎ ‎5、若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ ‎6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ ‎7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ ‎8、已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ ‎9、过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ ‎10、已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ ‎11、设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ ‎12、设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ ‎13、已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ ‎14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ ‎15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ ‎16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ ‎（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）‎ ‎17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ ‎18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 七、双曲线的常用结论：‎ ‎1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.‎ ‎2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ ‎3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ ‎4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）‎ ‎5、若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ ‎6、若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ ‎7、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点 ‎，则双曲线的焦点角形的面积为.‎ ‎8、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ）当在右支上时，,；当在左支上时，,。‎ ‎9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ ‎10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ ‎11、AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ ‎12、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ ‎13、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ ‎【推论】：‎ ‎1、双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ ‎2、过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ ‎3、若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ ‎4、设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.‎ ‎5、若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ ‎6、P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ ‎7、双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ ‎8、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.‎ ‎（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ ‎9、过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ ‎10、已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ ‎11、设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ ‎12、设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).‎ ‎(2) .(3) .‎ ‎13、已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ ‎14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ ‎15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ ‎16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ ‎17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ ‎18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 八、 抛物线的常用结论：‎ ‎①顶点.‎ ‎②则焦点半径;则焦点半径为.‎ ‎③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.‎ ‎④（或）的参数方程为（或）（为参数）.‎ 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎（0,0）‎ 离心率 焦点 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 ‎(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0‎ ‎(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0‎ y^2=2px p>0‎ 范围 x∈[-a,a] 　　y∈[-b,b]‎ x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) 　y∈R x∈[0,+∞) y∈R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称 顶点 ‎(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)‎ ‎(a,0),(-a,0)‎ ‎(0,0)‎ 焦点 ‎(c,0),(-c,0) ‎ ‎　　【其中c^2=a^2-b^2】‎ ‎(c,0),(-c,0) ‎ ‎　　【其中c^2=a^2+b^2】‎ ‎(p/2,0)‎ 准线 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2‎ 渐近线 ‎——————————‎ y=±(b/a)x ‎—————‎ 离心率 e=c/a,e∈(0,1)‎ e=c/a,e∈(1,+∞)‎ e=1‎ 焦半径 ‎∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ‎∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣‎ ‎∣PF∣=x+p/2‎ 焦准距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通径 ‎(2b^2)/a ‎(2b^2)/a ‎2p 参数方程 x=a·cosθ 　y=b·sinθ，θ为参数 x=a·secθ ‎ ‎　　y=b·tanθ,θ为参数 x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 ‎(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1‎ ‎　(x0,y0)的切线方程 ‎(x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1‎ y0·y=p(x+x0)‎ 斜率为k的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]‎ y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]‎ y=kx+p/2k