高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案

高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案

轨迹方程的经典求法 一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．‎ 例2：在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程．‎ 解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有．‎ 点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 其中．．‎ 所求的重心的轨迹方程为．‎ 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.‎ 例1：已知点，动点满足，则点的轨迹是（　　）‎ ‎　　A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：由题知，，由，得，即，‎ ‎　　点轨迹为抛物线．故选D．‎ 三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. ‎ 例3：已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．‎ 解：设，，由重心公式，得 ‎　　又在抛物线上，．　　　③‎ ‎　　将①，②代入③，得，即所求曲线方程是．‎ 四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.‎ 例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且，，，．‎ ‎（1）求点轨迹方程；‎ ‎（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程．‎ 解：（1）设，由知为中点，易知．‎ ‎　　又，则．　即点轨迹方程为；‎ ‎（2）设，中点．‎ ‎　　由题意设椭圆方程为，直线方程为．‎ ‎　　直线与点的轨迹相切，，解得．‎ 将代入椭圆方程并整理，得，，‎ 又由题意知，即，解得．故所求的椭圆方程为．‎ 五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把，联系起来 例4：已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使其满足，求直线与的交点的轨迹方程．‎ 解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．‎ 设点，‎ 则由题意，得．‎ 由点斜式得直线的方程分别为．‎ 两式相乘，消去，得．这就是所求点M的轨迹方程．‎ 评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.‎ 配套训练 一、选择题 ‎1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 ‎2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A‎1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎3. △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A 的轨迹方程为_________.‎ ‎4. 高为‎5 m和‎3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距‎10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.‎ 三、解答题 ‎5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.‎ ‎6. 双曲线=1的实轴为A‎1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.‎ ‎7. 已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.‎ ‎(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；‎ ‎(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.‎ ‎8.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.‎ ‎(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；‎ ‎(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值. ‎ 参考答案 配套训练 一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=‎2a,|PQ|=|PF2|,‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=‎2a,‎ 即|F1Q|=‎2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长‎2a,故动点Q的轨迹是圆.‎ 答案：A ‎2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)‎ ‎∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴‎ 解得x0=‎ 答案：C 二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,‎ ‎∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.‎ 答案：‎ ‎4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.‎ 答案：4x2+4y2－85x+100=0‎ 三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|‎ ‎=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)‎ ‎6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).‎ 由条件 而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2，即b2(－x2)－a2()2=a2b2‎ 化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).‎ ‎7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),‎ 则A1P的方程为：y= ①‎ A2Q的方程为：y=－ ②‎ ‎①×②得：y2=－ ③‎ 又因点P在双曲线上，故 代入③并整理得=1.此即为M的轨迹方程.‎ ‎(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.‎ ‎(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；‎ ‎(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.‎ ‎8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，‎ ‎∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|‎ 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).‎ ‎|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=‎2a,则(x1+c)2+y12=(‎2a)2.‎ 又 得x1=2x0－c,y1=2y0.‎ ‎∴(2x0)2+(2y0)2=(‎2a)2，∴x02+y02=a2.‎ 故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)‎ ‎(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB 当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.‎ 此时弦心距|OC|=.‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=45°，‎