第5讲 分层演练直击高考
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A．将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C．原式＝a－b＝－6ab－1＝－，故选C．
3．已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b
0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B．由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．
5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选C．因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
所以a＝1，
所以f(x)>3即为>3，
当x>0时，2x－1>0，
所以2x＋1>3·2x－3，
解得00，所以16－4x<16，
所以0≤16－4x<16，
即0≤y<4.
答案：[0，4)
7．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，
则a2－1＝2，所以a＝±，
又因为a>1，所以a＝.
当00，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，
得
结合a>0，且a≠1，解得
所以f(x)＝3·2x.
要使＋≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝＋在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝＋有最小值.
所以只需m≤即可．
即m的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
1．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B．函数y1＝与y2＝的图象如图所示．
由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
2．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.
3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，a应满足解得0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，
对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
6．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－(舍去)，
因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
