高考数学山东文试题及解析
2017年山东文
1.(2017年山东文)设集合M={x||x-1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（ ）
A.（-1，1） B.（-1，2） C.（0，2） D.（1，2）
1.C 【解析】由|x-1|＜1得0＜x＜2，故M∩N={x|0＜x＜2}∩{x|x＜2}={x|0＜x＜2}.故选C.
2. (2017年山东文)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=（ ）
A.-2i B.2i C.-2 D.2
2. A 【解析】由zi=1+i得（zi）2=（1+i）2，即-z2=2i，所以z2=-2i.故选A.
3. (2017年山东文)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3. D 【解析】画出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示，平移直线x+2y=0，可知当其经过直线x-2y+5=0与y=2的交点（-1，2）时，z=x+2y取得最大值，为zmax=-1+2×2=3.故选D.
4. (2017年山东文)已知cos x=，则cos 2x=（ ）
A. - B. C. - D.
4. D 【解析】由cos x=得cos 2x=2cos2x-1=2×（）2-1=.故选D.
5. (2017年山东)已知命题p:∃x∈R,x2－x＋1≥0；命题q:若a2＜b2,则a
0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；
对于②，g(x)＝ex·3－x，
则g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；
对于③，g(x)＝ex·x3，
则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
显然函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；
对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，
则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．
综上，具有M性质的函数的序号为①④.
[答案] ①④
11. (2017年山东文)已知向量a=（2,6）,b=（-1，λ）,若a∥b,则λ=_________．
11. -3 【解析】由a∥b可得-1×6=2λλ=-3.
12. (2017年山东)若直线＋＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a＋b的最小值为_________.
8 【解析】由直线＋＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2)可得＋＝1,所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即b＝4,a＝2时等号成立.
13. (2017年山东) 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .
2＋ 【解析】由三视图可知长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以V＝2×1×1＋2××1＝2＋.
14. (2017年山东文)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3，0]时,f(x)=6-x,则f(919)=_________．
14. 6 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知f（x）是周期函数，且T=6，所以f（919）=f（6×153+1）=f（1）=f（-1）=6.
15. (2017年山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A,B两点.若|AF|＋|BF|＝4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
y＝±x 【解析】由抛物线定义,得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×,所以yA＋yB＝p.由
消去x,整理,得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0,所以yA＋yB＝＝p,得a＝b.所以渐近线方程为y＝±x.
16. (2017年山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
【解析】（1）由题意,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}共15个.
所选的两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共3个,
所以所求事件的概率为P1＝＝.
（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3}共9个,
包含A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3}共个,
所以所求事件的概率为P2＝.
17. (2017年山东文)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC =3,求A和a.
17.解：因为·=-6,
所以bccos A=-6，
因此tan A=-1，又0＜A＜π，
所以A=，
又b=3，所以c=2.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得a2=9+8-2×3×2×（-）=29，
所以a=.
18. (2017年山东文)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.
（1）证明：A1O∥平面B1CD1;
（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.
18.解：（1）取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1=OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，
所以A1O平行O1C，
又O1C⊂平面B1CD1，A1O平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
（2）因为AC⊥BD,E，M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM=E.
所以B1D1⊥平面A1EM，
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
19. (2017年山东文)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列{}的前n项和Tn.
19.解：（1）设{an}的公比为q，由题意知a1(1+q)=6,a12q=a1q2.
又an＞0，
解得a1=2，q=2，
所以an=2n.
（2）由题意知S2n+1==（2n+1）bn+1，
又S2n+1=bnbn+1≠0，
所以bn=2n+1,
令cn=，
则cn=，
因此Tn=c1+c2+…+cn=+++…++，
又Tn=+++…++，
两式相减得Tn=+（++…+）-
所以Tn=5-.
20. (2017年山东文)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.
（1）当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；
（2）设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
20.解：（1）由题意f′(x)=x2-ax，
所以，当a=2时，f(3)=0，f′(x)=x2-2x，
所以f′(3)=3，
因此，曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程是y=3（x-3），
即3x-y-9=0.
（2）因为g(x)= f(x)+(x-a)cos x-sin x,
所以g′（x）=f′(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x,
=x(x-a)-(x-a)sin x
=(x-a)(x-sin x),
令h（x）=x-sin x，
则h′（x）=1-cos x≥0，
所以h（x）在R上单调递增，
因为h(0)=0，
所以，当x＞0时，h(x)＞0；当x＜0时，h(x)＜0.
①当a＜0时，g′(x)=(x-a)(x-sin x)，
当x∈（-∞，a）时，x-a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈（a,0）时，x-a＞0，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈（0,+∞）时，x-a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增.
所以当x=a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)=-a3-sin a，
当x=0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)=-a.
②当a=0时，g′(x)=x(x-sin x)，
当x∈（-∞，+∞）时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
所以g(x)在（-∞，+∞）上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.
③当a＞0时，g′(x)=(x-a)(x-sin x)，
当x∈（-∞，0）时，x-a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈（0，a）时，x-a＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递增减；
当x∈（a，+∞）时，x-a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增.
所以当x=0时，g（x）取到极大值，极大值是g（0）=-a；
当x=a时，g（x）取到极小值，极小值是g（a）=-a3-sin a.
综上所述，当a＜0时，函数g（x）在（-∞，a）和（0,+∞）上单调递增，在（a，0）上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)=-a3-sin a，极小值是g(0)=-a；
当a=0时，函数g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；
当a＞0时，函数g（x）在（-∞，0）和（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)=-a，极小值是g(a)=-a3-sin a.
21. (2017年山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：+=1 (a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
21.解：（1）由椭圆的离心率为，得a2=2(a2-b2)，
又当y=1时，x2= a2-，得a2-=2，
所以a2=4,b2=2，
因此椭圆方程为+=1.
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立方程
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0，
由Δ＞0得m2＜4k2+2.（*）
且x1+x2=，
因此y1+y2=，
所以D（-，）
又N（0，-m），
所以|ND|2=（-）2+（+m）2，
整理得|ND|2=,
因为|NF|=|m|，
所以==1+.
令t=8k2+3,t≥3，
故2k2+1=，
所以=1+=1+.
令y=t+，所以y′=1-.
当t≥3时，y′＞0,
从而y=t+在[3，+∞）上单调递增，
因此t+≥，
等号当且仅当t=3时成立，此时k=0，
所以≤1+3=4，
由（*）得-＜m＜且m≠0.
故≥，
设∠EDF=2θ，
则sin θ=≥，
所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述，当k=0，m∈（-，0）∪（0，）时，∠EDF取到最小值.
