高考不等式常见题型解析

高考不等式常见题型解析

高中不等式的知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：‎ （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.‎ （3） 同向不等式与异向不等式.‎ （4） 同解不等式与不等式的同解变形.‎ ‎2.不等式的基本性质 ‎（1）（对称性） （2）（传递性）‎ ‎（3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加）‎ ‎（5）（异向不等式相减）（6）‎ ‎（7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘）‎ ‎ （异向不等式相除） （倒数关系）‎ ‎（11）（平方法则）（12）（开方法则）‎ ‎3.几个重要不等式 ‎（1）‎ ‎（2）（当仅当a=b时取等号）‎ ‎（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ 极值定理：若则：‎ 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.‎ ‎ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ‎ ‎（当仅当a=b=c时取等号） ‎ ‎（当仅当a=b时取等号）‎ ‎（7）‎ ‎4.几个著名不等式 ‎ （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ ‎（2）柯西不等式： ‎ ‎（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 ‎ 则称f(x)为凸（或凹）函数.‎ ‎5.不等式证明的几种常用方法 ‎ 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.‎ ‎6.不等式的解法 ‎（1）整式不等式的解法（标根法）.‎ ‎ 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.‎ 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.‎ ‎（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ‎（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ‎ ‎ ‎（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ‎（5）对数不等式：转化为代数不等式 ‎（6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；‎ 应用化归思想等价转化 ‎ ‎ 考点一：不等式的性质 ‎1、(2012辽宁)若，则下列不等式正确的是( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点二：均值不等式(基本不等式)‎ ‎1、(2011陕西)设，则下列不等式中正确的是( )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎2、(2010安徽)若，，且，则下列不等式对一切满足条件的、恒成立的是 .‎ ‎ (1)；(2)；(3)；(4)；(5).‎ ‎3、(2012太原)若正实数满足，则( )‎ ‎ A、有最大值 B、有最小值 ‎ ‎ C、有最大值 D、有最小值 ‎4、(2011湖北)已知，，且，，，则的最小值为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、(2012郑州)把一段长16米的铁丝截成两端，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 考点三：互为倒数型(均值不等式运用)‎ ‎1、(2012东北)若，则的取值范围为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、(2011重庆)若函数在处取得最小值，则( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点四：巧用“”型(均值不等式运用)‎ ‎1、(2011湖南)设，且，则的最小值为 ；‎ ‎2、(2012太原)已知，，则的最小值为 ；‎ ‎3、(2012湖北)若，则的最小值为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、(2012海南)若直线被圆截得的弦长为，则的最小值是( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点五：换元型(均值不等式运用)‎ ‎1、(2010重庆)已知，，则的最小值是( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、(2011浙江)若实数满足，则的最大值是 ；‎ 考点六：一元多次不等式 ‎1、不等式的解集为 ；2、不等式的解集为 ；‎ ‎3、(2012东北)已知函数是奇函数，且在上为增函数，若满足等式，则的最大值是( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点七：不等式的应用 ‎1、(2012银川)对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出了如下一种解法：‎ 解析：由的解集为，得的解集为，‎ ‎ 即关于的不等式的解集为.‎ 参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的 不等式的解集为 ；‎ 考点八：线性规划 ‎(第20题)‎ ‎1、(2010三明)已知已知、满足约束条件，则目标函数………..( )‎ A、有最小值，无最大值 B、有最大值，无最小值 C、既无最大值，又无最小值 D、既有最大值，又有最小值 ‎2、(2010三明)如图所示，、的可行解区域为阴影部分（包括边界部分），‎ ‎(第20题)‎ 已知的最优解当且仅当在处取得，则的取值范围为 ；‎ ‎3、(2009三明)如图所示，、的可行解区域为阴影部分（包括边界部分），‎ 若取得最优解时的可行解的个数为无穷个时，则的值为 ；‎ ‎4、(2011三明)已知、满足约束条件，则的取值范围为 ；‎ ‎5、(2012福建.文)若直线上存在点满足约束条件则实数的最大值为( )‎ ‎ ‎ ‎6、(2012福建.理)若函数图像上存在点，满足约束条件则实数的最大值为 ‎ ‎ 考点九．分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1） 解不等式（答：）；‎ ‎（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________（答：）.‎ 考点十．绝对值不等式的解法：‎ ‎（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式 （答：）；‎ ‎（2）利用绝对值的定义；‎ ‎（3）数形结合；如解不等式（答：）‎ ‎（4）两边平方：如 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。（答：）‎ 考点十一．含参不等式的解法 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. ‎ （1） 若，则的取值范围是__________（答：或）；‎ ‎（2）解不等式 ‎（答：时，；时，或；时，或）‎ 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为__________（答：（－1,2））‎ 考点十二．含绝对值不等式的性质：‎ 同号或有；‎ 异号或有.‎ 如设，实数满足，求证：‎ 考点十三．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）‎ ‎1).恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 ‎（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：）；‎ ‎（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：）；‎ ‎（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____‎ ‎（答：（,））；‎ （4） 若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____‎ （5） ‎（答：）；‎ ‎（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.‎ ‎（答：）‎ ‎2). 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；‎ 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如 已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围 ‎ ‎（答：）‎ ‎3). 恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；‎ 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.‎ 考点十四．柯西不等式 ‎1．已知，求的最小值．‎ ‎2．若求的最小值，并求此时的值．‎ ‎3．已知，且，求的最小值．‎ ‎4．已知a2+b2+c2=1(a，b，c∈)，求a+b+c的最大值．‎ ‎5．已知实数满足，求的最大值和最小值．‎