2014-2017高考真题选修45不等式选讲

2014-2017高考真题选修45不等式选讲

选修4-5 不等式选讲 考点 不等式选讲 ‎1.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） ‎ ‎(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； ‎ ‎(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． ‎ ‎1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． ‎ ‎2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． ‎ ‎2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， ‎ 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． ‎ ‎3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． ‎ ‎3.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m的取值范围为（﹣∞， ]． 4.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8． ‎ ‎4. 证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16， 令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ． ∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号． ‎ 因此ac+bd≤8． ‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)在图中画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ ‎5.解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.‎ ‎6.解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞).‎ ‎7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎7.(1)解　f(x)＝ 当x≤－时,由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1,所以,-10.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ ‎10.解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a＋1,0),C(a,a+1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).‎ ‎11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab＞cd，则＋＞＋；‎ ‎(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.‎ ‎11.证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.‎ ‎(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.‎ ‎②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.‎ ‎12.(2014·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.‎ ‎12.{x|x≤－3或x≥2}　[原不等式等价于 或或 解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.]‎ ‎13.(2014·湖南，13)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.‎ ‎13.－3　[依题意，知a≠0.|ax－2|<3⇔－30时，不等式的解集为，从而有此方程组无解.‎ 当a<0时，不等式的解集为，从而有解得a＝－3.]‎ ‎14.(2014·重庆，16)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ ‎14.　[令f(x)＝|2x-1|＋|x+2|,易求得f(x)min＝,依题意得a2+a+2≤⇔-1≤a≤.]‎ ‎15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0).‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)<5，求a的取值范围.‎ ‎15.(1)证明　由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.‎ ‎(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3

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