高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质 一、基础知识 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理❶ 平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行(线线平行 ⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β ＝b，∴l∥b ❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必 须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理❷ 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行(简记 为“线面平行⇒面面平 行”) ∵a∥β， b∥β， a∩b＝P，a ⊂α， b⊂α， ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那么 它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b ❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平 面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表示： a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 二、常用结论 平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 考点一 直线与平面平行的判定与性质 考法(一) 直线与平面平行的判定 [典例] 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 M，N 分别为线段 A1B，AC1 的中点．求 证：MN∥平面 BB1C1C. [证明] 如图，连接 A1C.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 为 平行四边形． 又因为 N 为线段 AC1 的中点，所以 A1C 与 AC1 相交于点 N，即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点． 因为 M 为线段 A1B 的中点，所以 MN∥BC. 又因为 MN⊄平面 BB1C1C，BC⊂平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C. 考法(二) 线面平行性质定理的应用 [典例] (2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任 意一点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 求证：FG∥平面 AA1B1B. [证明] 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1⊂平面 BB1D，CC1⊄平面 BB1D， 所以 CC1∥平面 BB1D. 又 CC1⊂平面 CEC1，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG， 所以 CC1∥FG. 因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG. 因为 BB1⊂平面 AA1B1B，FG⊄平面 AA1B1B， 所以 FG∥平面 AA1B1B. [题组训练] 1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线 m，n 满足 m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A ∵若 m⊄α，n⊂α，且 m∥n，由线面平行的判定定理知 m∥α，但若 m⊄α， n⊂α，且 m∥α，则 m 与 n 有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件． 2．如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M 为 PC 上一点，且 PM ＝2MC. 求证：BM∥平面 PAD. 证明：法一：如图，过点 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N，连接 AN. ∵PM＝2MC，∴MN＝2 3CD. 又 AB＝2 3CD，且 AB∥CD， ∴AB 綊 MN， ∴四边形 ABMN 为平行四边形， ∴BM∥AN. 又 BM⊄平面 PAD，AN⊂平面 PAD， ∴BM∥平面 PAD. 法二：如图，过点 M 作 MN∥PD 交 CD 于点 N，连接 BN. ∵PM＝2MC，∴DN＝2NC， 又 AB∥CD，AB＝2 3CD， ∴AB 綊 DN， ∴四边形 ABND 为平行四边形， ∴BN∥AD. ∵BN⊂平面 MBN，MN⊂平面 MBN，BN∩MN＝N， AD⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD，AD∩PD＝D， ∴平面 MBN∥平面 PAD. ∵BM⊂平面 MBN，∴BM∥平面 PAD. 3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一 点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 PA 作平面 PAHG 交 平面 BMD 于 GH. 求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点，∴PA∥MO. 又 MO ⊂平面 BMD，PA⊄平面 BMD， ∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH， PA⊂平面 PAHG， ∴PA∥GH. 考点二 平面与平面平行的判定与性质 [典例] 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别为 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. [变透练清] 1.变结论在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平 面 AC1D. 证明：如图所示，连接 A1C，AC1， 设交点为 M， ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形， ∴M 是 A1C 的中点，连接 MD， ∵D 为 BC 的中点，∴A1B∥DM. ∵DM⊄平面 A1BD1，A1B⊂平面 A1BD1， ∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知 D1C1 綊 BD， ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1， ∴DC1∥平面 A1BD1， 又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面 AC1D，DM⊂平面 AC1D， ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 2．如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD， EF 的中点，求证： (1)BE∥平面 DMF； (2)平面 BDE∥平面 MNG. 证明：(1)如图，连接 AE，设 DF 与 GN 的交点为 O， 则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O. 连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线， 所以 BE∥MO. 又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF， 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DE∥GN. 又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG， 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点， 所以 MN 为△ABD 的中位线， 所以 BD∥MN. 又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG， 所以 BD∥平面 MNG. 又 DE⊂平面 BDE，BD⊂平面 BDE，DE∩BD＝D， 所以平面 BDE∥平面 MNG. [课时跟踪检测] A 级 1．已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面α平行，则直线 b 与α的关系为( ) A．平行 B．相交 C．直线 b 在平面α内 D．平行或直线 b 在平面α内 解析：选 D 依题意，直线 a 必与平面α内的某直线平行，又 a∥b，因此直线 b 与平面 α的位置关系是平行或直线 b 在平面α内． 2．若平面α∥平面β，直线 a∥平面α，点 B∈β，则在平面β内且过 B 点的所有直线中 ( ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线 解析：选 A 当直线 a 在平面β内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 3．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE∶EB＝CF∶FB＝1∶ 2，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．在平面内 D．不能确定 解析：选 A 如图，由AE EB ＝CF FB 得 AC∥EF. 又因为 EF⊂平面 DEF，AC⊄平面 DEF， 所以 AC∥平面 DEF. 4．(2019·重庆六校联考)设 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β 的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析：选 D 对于选项 A，若存在一条直线 a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α ∥β，则存在一条直线 a，使得 a∥α，a∥β，所以选项 A 的内容是α∥β的一个必要条件；同 理，选项 B、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项 D，可以通过平 移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项 D 的内容是α∥ β的一个充分条件．故选 D. 5.如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1 内灌进 一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾 斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG， ∴A1D1∥FG 且 A1D1⊄平面 EFGH，FG⊂平面 EFGH， ∴A1D1∥平面 EFGH(水面)． ∴③是正确的； 对于④，∵水是定量的(定体积 V)， ∴S△BEF·BC＝V，即 1 2BE·BF·BC＝V. ∴BE·BF＝2V BC(定值)，即④是正确的，故选 C. 6.如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于 CD， AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1，则 AB＝________. 解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB， 则PC PA ＝CD AB ，∴AB＝PA×CD PC ＝5×1 2 ＝5 2. 答案：5 2 7．设α，β，γ是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ. 如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则 a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的 条件是________(填序号)． 解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当 b∥β，a⊂γ时，a 和 b 在同一平面内， 且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③. 答案：①或③ 8．在三棱锥 PABC 中，PB＝6，AC＝3，G 为△PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个 截面，使截面平行于 PB 和 AC，则截面的周长为________． 解析：如图，过点 G 作 EF∥AC，分别交 PA，PC 于点 E，F，过点 E 作 EN∥PB 交 AB 于点 N，过点 F 作 FM∥PB 交 BC 于点 M，连接 MN，则 四边形 EFMN 是平行四边形(平面 EFMN 为所求截面)，且 EF＝MN＝2 3AC＝ 2，FM＝EN＝1 3PB＝2，所以截面的周长为 2×4＝8. 答案：8 9.如图，E，F，G，H 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BC， CC1，C1D1，AA1 的中点．求证： (1)EG∥平面 BB1D1D； (2)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明：(1)如图，取 B1D1 的中点 O，连接 GO，OB， 因为 OG 綊 1 2B1C1，BE 綊 1 2B1C1， 所以 BE 綊 OG， 所以四边形 BEGO 为平行四边形， 故 OB∥EG， 因为 OB⊂平面 BB1D1D， EG⊄平面 BB1D1D， 所以 EG∥平面 BB1D1D. (2)由题意可知 BD∥B1D1. 连接 HB，D1F，因为 BH 綊 D1F， 所以四边形 HBFD1 是平行四边形， 故 HD1∥BF. 又 B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， 所以平面 BDF∥平面 B1D1H. 10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥 PABCD 中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1. 设 M，N 分别为 PD，AD 的中点． (1)求证：平面 CMN∥平面 PAB； (2)求三棱锥 PABM 的体积． 解：(1)证明：∵M，N 分别为 PD，AD 的中点， ∴MN∥PA， 又 MN⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴MN∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60°，CN＝AN， ∴∠ACN＝60°. 又∠BAC＝60°，∴CN∥AB. ∵CN⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB， ∴CN∥平面 PAB. 又 CN∩MN＝N， ∴平面 CMN∥平面 PAB. (2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB， ∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离． ∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝ 3， ∴三棱锥 PABM 的体积 V＝VMPAB＝VCPAB＝VPABC＝1 3 ×1 2 ×1× 3×2＝ 3 3 . B 级 1.如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝ AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)求证：MN∥平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得 AM＝2 3AD＝2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC， TN＝1 2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB. (2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB＝AC＝3，得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝1 2 ×4× 5＝2 5. 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM＝1 3 ×S△BCM×PA 2 ＝4 5 3 . 2.如图所示，几何体 EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD， EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC. 证明：(1)如图所示，取 BD 的中点 O，连接 OC，OE. ∵CB＝CD，∴CO⊥BD. 又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C， ∴BD⊥平面 OEC，∴BD⊥EO. 又∵O 为 BD 中点． ∴OE 为 BD 的中垂线，∴BE＝DE. (2)取 BA 的中点 N，连接 DN，MN. ∵M 为 AE 的中点，∴MN∥BE. ∵△ABD 为等边三角形，N 为 AB 的中点， ∴DN⊥AB. ∵∠DCB＝120°，DC＝BC， ∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即 BC⊥AB， ∴DN∥BC. ∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B， ∴平面 MND∥平面 BEC. 又∵DM⊂平面 MND， ∴DM∥平面 BEC.