高考理科数学大纲全国卷

高考理科数学大纲全国卷

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修II）‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题上作答无效.‎ ‎3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 一、选择题 ‎1、复数＝1+，为的共轭复数，则--1＝‎ ‎（A）-2 （B）- （C） （D）2‎ ‎2、函数＝（≥0）的反函数为 ‎（A）＝（∈R） （B）＝（≥0）‎ ‎（C）＝（∈R） （D）＝（≥0）‎ ‎3、下面四个条件中，使>成立的充分而不必要的条件是 ‎（A）>+1 （B）>-1 （C）> （D）>‎ ‎4、设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ (A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5‎ ‎5、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎ （A） （B）3 （C）6 （D）9‎ ‎6、已知直二面角，点，，为垂足，，，为垂足，若，，则到平面的距离等于 ‎（A） （B） (C) (D) 1‎ ‎7、某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ‎ （A）4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种 ‎8、曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎9、设是周期为2的奇函数，当时，，则=‎ （A） ‎ （B） （C） （D）‎ ‎10、已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则 （ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎11、已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得，若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为 ‎ (A) (B). (C). (D). ‎ ‎12、设向量，，满足，，，则的最大值等于 ‎（A）2 （B） (C) (D)1 ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己凡人名字、准考证号填写清楚，然后贴好条形码，请认真核条形码上凡人准考证号、姓名和科目.‎ ‎2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.‎ ‎3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上.‎ ‎13、 的二项展开式中，的系数与的系数之差为____________________.‎ ‎14、已知 ，，则______________.‎ ‎15、已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点 ，点的坐标为（2,0），为的平分线，则______________.‎ ‎16、已知、分别在正方形、楞，上，且，，则面与面所成的二面角的正切值等于_______________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本小题满分10分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，求.‎ ‎18、（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.‎ ‎（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；‎ ‎（Ⅱ）表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望.‎ ‎19、（本小题满分12分）如图，棱锥中，∥，，侧面为等边三角形，，.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）求与平面所成的角的大小.‎ ‎20、（本小题满分12分）设数列满足，且.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，记，证明：.‎ ‎21、（本小题满分12分）已知为坐标原点，为椭圆C：在 轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交于，两点，点满足.‎ ‎（Ⅰ）证明：点在上；‎ ‎（Ⅱ）设点关于点的对称点为，‎ 证明：、、、四点在同一圆上.‎ ‎22、（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互补相同的概率为.证明：.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试答案 理科数学（必修+选修II）‎ 一、选择题：‎ BBADC； CBDAD； DA ‎1.解：，，故选B.‎ ‎2. 解：，，，故反函数为，，故选B.‎ ‎3. ，反之，例如：，，满足，但即，推不出，故是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎4.解：根据题意：，，转化为，‎ ‎，故选D.‎ ‎5.解：函数图象平移个单位长度后，所的图像与原图像重合，说明函数平移整个周期，所以，令，可得，故选C.‎ ‎6.解：由题意画出图形，直二面角，点，，为垂足，，，为垂足，若，，则到平面的距离转化为三棱锥 的高，，，，‎ 由，可知，，‎ ‎7.解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿走画册由4种，另一种是2本画册2本邮册，只要选两个人拿画册种，根据分类计数原理知共10种。故选B.‎ ‎8. 解：，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即，令，解得，‎ 令，解得，所以切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎，故选A.‎ ‎9. 解：是周期为2的奇函数，当时，，‎ ‎，故选A. ‎ ‎10. 解：因为抛物线：的焦点为，的坐标为，又因为直线与交于，两点，则，两点的坐标为，，则 ， ‎ 则，故选D.‎ ‎11. 因为圆的面积为，所以圆的半径为2，由勾股定理可得，过圆心且与成二面角的平面截该球面得，，在直角三角形中，，则圆的面积为，故选D.‎ ‎12. 解：，，所以，的夹角为，设，，，则，，则，，‎ ‎，四点共圆，‎ ‎，，，由三角形外接圆的直径 ‎，当为直径时，‎ 模最大，最大值为2，故选A.‎ 二、填空题：‎ ‎13. 解：展开式的通项公式为，令得，令得，‎ 所以的系数与的系数为，，的系数与的系数之差为，‎ ‎，故答案为0.‎ ‎14. 解：由 ，，得，，则，故答案为.‎ ‎15. 解：不妨设在双曲线的右支上，为的平分线，‎ ‎，又，解得，故答案为 ‎16. 解：由题意画出图形如图：‎ 因为、分别在正方形、‎ 棱，上，且，‎ ‎，延长、交点为连接，‎ 过作连接、所以面与 面所成的二面角就是、‎ 因为，，所以 ‎，所以，‎ 设正方体的棱长、所以，，，在中，，故答案为.‎ ‎17. 解：由，得到钝角且，利用正弦定理，可变为；，即有 ‎，又，，是 的内角，故，或（舍去），所以 ‎，解得.‎ ‎18.（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为，则，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为，由对立事件的概率，该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率为；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为，～，所以.‎ ‎19.（I）证明：在直角梯形中，∥，，侧面为等边三角形，，，，则面为等边三角形，，，，，，同理，‎ ‎，，，平面，平面；‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，则，，，‎ 作出在底面上的投影，则四棱锥中，∥，，侧面为等边三角形知，一定在轴上，又，，可解得 ‎，从而解得，故可得，则，‎ ‎，设平面的一个法向量为:，则，，即，解得，，，即平面的一个法向量为 ‎，又，，‎ ‎，即与平面所成的角的大小为.‎ ‎20. 解：（I）是公差为1的等差数列，，‎ ‎，‎ ‎（II），‎ ‎.‎ ‎21、证明：（Ⅰ）设，，椭圆： ①，则直线的方程为： ②，联立方程组可得，则，，则，设，则有，，，，‎ ‎，的坐标为代入①方程成立，所以点在上；‎ ‎（Ⅱ）设点关于点的对称点为，证明：、、、‎ 四点在同一圆上.设线段的中点坐标为，‎ 即，过线段的中点且垂直于的直线方程 为:，即 ③，关于点的对称点为，故 为线段的中点，过线段的中点且垂直于的直线方程为 ④，联立③，④得：，，③，④的交点就是圆心，‎ ‎，故过，两点圆的方程为： ⑤，把代入⑤，，‎ ‎，、也在圆⑤上，、、、四点在同一圆上.‎ ‎22. （Ⅰ）证明：，当时，，，所以在上是单调递增函数，所以当时，，即当时，；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互补相同的概率为，要证，先证：，即证，‎ 即证，而，‎ ‎，﹍，‎ ‎，，即，‎ 再证：，即证，即证，即证，‎ 由（Ⅰ），当时，，‎ 令，则，即，综上所述，.‎