北京高考数学试题与答案理科

北京高考数学试题与答案理科

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 (理) (北京卷)‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于的概率是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）设，．“”是“复数是纯虚数”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前年的 年平均产量最高，的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）直线为参数与曲线为参数的交点个数为 ．‎ ‎（10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ．‎ ‎（11）在中，若，，，则 ．‎ ‎（12）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、‎ 两点，其中，点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为 ．‎ ‎（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为 ．‎ ‎（14）已知，．若同时满足条件：‎ ‎①，或；‎ ‎②，．‎ 则的取值范围是 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递增区间．‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ 如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，‎ 求与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面 与平面垂直？说明理由．‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 ‎，其中，600．当数据的方差最大时，写出 的值（结论不要求证明），并求此时的值．‎ ‎（注：…，其中为数据的平均数）‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ 已知曲线：．‎ ‎（Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线 与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．‎ 求证：三点共线．‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．‎ 对于，记为的第行各数之和≤≤，为的第列各数之和≤≤．‎ 记为，，…，，，，…，中的最小值．‎ ‎（Ⅰ）对如下数表，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设数表形如 求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值．‎ ‎2012高考北京数学真题答案及简析 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D D B C A B B C 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎2‎ ‎1；‎ ‎4‎ ‎1；1‎ 三、解答题 ‎15．解：‎ ‎（1）原函数的定义域为，最小正周期为．‎ ‎（2）原函数的单调递增区间为，‎ ‎16．解：（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面 ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则∴∴‎ ‎∴ 又∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的大小 ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为 则∴‎ ‎∴‎ 假设平面与平面垂直 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直 ‎17．（1）由题意可知：‎ ‎（2）由题意可知：‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎18．解：（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎19．（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎20．‎ 解：‎ ‎（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴．‎ 易知当时，存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为.‎