高考数学一轮专题复习高效测试22平面向量的概念及线性运算

高考数学一轮专题复习高效测试22平面向量的概念及线性运算

高效测试22：平面向量的概念及线性运算 一、选择题 ‎1．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.‎ 答案：D ‎2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向　　　　B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴，故选D.‎ 答案：D ‎3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：如图所示，作OG∥EF交DC于G，‎ 由于DE＝EO，‎ 得DF＝FG，‎ 又由AO＝OC得FG＝GC，‎ 于是＝＝(－b＋a)，‎ 那么＝＋＝(a＋b)＋(－b＋a)＝a＋b.‎ 答案：B ‎4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：由＋＋＝0得点M是△ABC的重心，可知＝(＋)，＋＝3，则m＝3，选B.‎ 答案：B ‎5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点C)，则＝(　　)‎ A．λ(＋)，λ∈(0,1)‎ B．λ(＋)，λ∈ C．λ(－)，λ∈(0,1)‎ D．λ(－)，λ∈ 解析：‎ 如图所示，＝＋，又∵点P在上，∴与同向，且||<||，故＝λ(＋)，λ∈(0,1)．‎ 答案：A ‎6．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0‎ 解析：＝λ，得－＝λ(－)，‎ 即＝(1＋λ)－λ.‎ 又2＝x＋y，‎ ‎∴消去λ得x＋y＝2.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示)‎ 解析：由＝3，‎ 知N为AC的四等分点．‎ ＝＋ ‎＝－ ‎＝－(＋)‎ ‎＝－＋ ‎＝－a＋b.‎ 答案：－a＋b ‎8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.‎ 解析：＝＋，＝＋，＝＋，于是得，‎ 所以λ＋μ＝.‎ 答案： ‎9．设V是已知平面M上所有向量的集合．对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a)．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．‎ 现有下列命题：‎ ‎①设f是平面M上的线性变换，则f(0)＝0；‎ ‎②对a∈V，设f(a)＝‎2a，则f是平面M上的线性变换；‎ ‎③若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a－e，则f是平面M上的线性变换；‎ ‎④设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，若a、b共线，则f(a)、f (b)也共线．‎ 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)‎ 解析：对于①，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f(0)＝0，因此①正确．对于②，f(λa＋μb)＝2(λa＋μb)＝λ·(‎2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此②正确．对于③，f(λa＋μb)＝(λa＋μb)－e，λf(a)＋μf(b)＝λ(a－e)＋μ(b－e)＝λa＋μb－(λ＋μ)e，显然(λ＋μ)e与e不恒相等，因此③不正确．对于④，当a、b共线时，若a、b中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f(b)共线；若a、b中均不等于0，设b＝λa，则有f(b)＝f(λa)＝f(λa＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a、b共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是①②④.‎ 答案：①②④‎ 三、解答题 ‎10．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.‎ 解析：取AE的三等分点M，使|AM|＝|AE|，连接DM.‎ 设|AM|＝t，则|ME|＝2t.‎ 又|AE|＝|AC|，‎ ‎∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.‎ ‎∴在△DMC中＝＝ ‎∴CP＝CD ‎∴DP＝CD ＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－＋)‎ ‎＝＋ ‎＝a＋b.‎ ‎11．如图，已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于E，＝a，＝b.‎ ‎(1)用a与b表示向量、；‎ ‎(2)若＝λ ，求实数λ的值．‎ 解析：(1)依题意，A是BC中点，‎ ‎∵2＝＋，即＝2－＝‎2a－b.‎ ＝－＝－＝‎2a－b－b＝‎2a－b.‎ ‎(2)设＝λ，‎ 则＝－＝λa－(‎2a－b)＝(λ－2)a＋b，‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴存在实数k，使＝k，‎ ‎(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.‎ ‎12．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b.‎ ‎(1)试用a和b表示向量；‎ ‎(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设＝λ，＝μ，当EF为AD时，λ＝1，μ＝，此时＋＝7；当EF为CB时，λ＝，μ＝1，此时＋＝7.有人得出结论：不论E、F在线段AC、BD上如何变动，＋＝7总成立．他得出的这个结论正确吗？请说明理由．‎ 解析：方法一：(1)设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.‎ ‎∵A、M、D三点共线，∴与共线．‎ 故存在实数t，使得＝t，‎ 即(m－1) a＋nb＝t(－a＋b)，‎ ‎∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb，‎ ‎∴消去t得m－1＝－2n，‎ 即m＋2n＝1.　①‎ ‎∵＝－＝ma＋nb－a＝(m－)a＋nb，‎ ＝－＝b－a＝－a＋b，‎ 又C、M、B三点共线，‎ ‎∴与共线，‎ 同理可得‎4m＋n＝1.　②‎ 联立①②，解之得：m＝，n＝.‎ 故＝a＋b，‎ ‎(2)他得出的结论是正确的．‎ ‎∵＝－＝a＋b－λa＝(－λ)a＋b，‎ ＝－＝μ－λ＝－λa＋μb，‎ 又与共线，‎ 故存在实数k，使得＝k，即 ‎(－λ)a＋b＝k(－λa＋μb)＝－λka＋μkb，‎ ‎∴ 消去k得－λ＝－λ·，整理即得＋＝7.‎ 方法二：(1)∵A、M、D三点共线，由直线的向量参数方程式可得：＝k＋(1－k)＝k＋＝ka＋b(k∈R)．‎ 同理由于C、M、B三点共线，可得：＝t＋(1－t)＝＋(1－t)＝a＋(1－t)b(t∈R)，‎ ‎∴ka＋b＝a＋(1－t)b.‎ 又∵，不共线，即a，b不共线，‎ ‎∴k＝且＝1－t，解之得k＝，t＝.‎ ‎∴＝a＋b.‎ ‎(2)他得出的结论是正确的．‎ ‎∵E、F、M三点共线，由直线的向量参数方程式可得：‎ ＝k＋(1－k)，‎ 即a＋b＝λka＋μ(1－k)b(k∈R)．‎ 又∵，不共线，即a，b不共线，‎ ‎∴ 消去k整理得＋＝7. ‎