高考福建理科数学试题及答案高清

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‎2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数z满足zi＝1－i，则z等于(　　)‎ A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i ‎2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．下列命题中，真命题是(　　)‎ A．x0∈R，‎ B．x∈R，2x＞x2‎ C．a＋b＝0的充要条件是 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 ‎4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎5．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)‎ B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D．(x∈R)‎ ‎6．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设函数则下列结论错误的是(　　)‎ A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 ‎8．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎9．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎10．函数f(x)在［a，b］上有定义，若对任意x1，x2∈［a，b］，有，则称f(x)在［a，b］上具有性质P．设f(x)在［1,3］上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f(x)在［1,3］上的图象是连续不断的；‎ ‎②f(x2)在［1，］上具有性质P；‎ ‎③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈［1,3］；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈［1,3］，有［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］．‎ 其中真命题的序号是(　　)‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11． (a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．‎ ‎12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．‎ ‎13．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．‎ ‎14．数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2 012＝________．‎ ‎15．对于实数a和b，定义运算“*”：‎ 设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________．‎ 三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间x(年)‎ ‎0＜x≤1‎ ‎1＜x≤2‎ x＞2‎ ‎0＜x≤2‎ x＞2‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润 ‎(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．‎ ‎(1)求证：B1E⊥AD1．‎ ‎(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．‎ ‎(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．‎ ‎19．如图，椭圆E：(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．‎ ‎21． (1)选修4－2：矩阵与变换 设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．‎ ‎①求实数a，b的值；‎ ‎②求A2的逆矩阵．‎ ‎(2)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎②判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎(3)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．‎ ‎①求m的值；‎ ‎②若a，b，c∈R＋，且，求证：a＋2b＋3c≥9．‎ ‎22．(文)已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在［0，］上的最大值为．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．‎ ‎1． A　由zi＝1－i，得．‎ ‎2． B　∵a1＋a5＝10＝2a3，‎ ‎∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．‎ ‎3． D　∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，‎ 即a＞1，b＞1⇒ab＞1．‎ ‎4． D　∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，‎ ‎∴这个几何体不可以是圆柱．‎ ‎5． C　∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，‎ ‎∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；‎ 当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．‎ 故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．‎ ‎6． C　∵由图象知阴影部分的面积是，∴所求概率为．‎ ‎7． C　∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数，‎ ‎∴D(x)不是周期函数是错误的．‎ ‎8． A　由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，．因此该双曲线的渐近线的方程为，即．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为．‎ ‎9． B　由约束条件作出其可行域如图所示：‎ 由图可知当直线x＝m经过函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点P时取得最大值，即得2x＝3－x，即x＝1＝m．‎ ‎10． D　①如图1，‎ 图1‎ 在区间［1,3］上f(x)具有性质P，但是是间断的，故①错．‎ ‎②可设f(x)＝|x－2|(如图2)，当x∈［1,3］时易知其具有性质P，但是f(x2)＝|x2－2|＝不具有性质P(如图3)．‎ 故②错．‎ 图2‎ 图3‎ ‎③任取x0∈［1,3］，则4－x0∈［1,3］，‎ ‎1＝f(2)＝≤［f(x0)＋f(4－x0)］．‎ 又∵f(x0)＝1，f(4－x0)≤1，‎ ‎∴［f(x0)＋f(4－x0)］≤1．‎ ‎∴f(x0)＝f(4－x0)＝1．故③正确．‎ ‎④‎ ‎≤≤［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］，故④正确．‎ ‎11．答案：2‎ 解析：∵Tr＋1＝arx4－r，∴当4－r＝3，即r＝1时，T2＝·a·x3＝4ax3＝8x3．故a＝2．‎ ‎12．答案：－3‎ 解析：(1)k＝1,1＜4，s＝2×1－1＝1；‎ ‎(2)k＝2,2＜4，s＝2×1－2＝0；‎ ‎(3)k＝3,3＜4，s＝2×0－3＝－3；‎ ‎(4)k＝4，直接输出s＝－3．‎ ‎13．答案：‎ 解析：设△ABC的最小边长为a(m＞0)，则其余两边长为，2a，故最大角的余弦值是．‎ ‎14．答案：3 018‎ 解析：∵函数的周期，‎ ‎∴可用分组求和法：‎ a1＋a5＋…＋a2 009＝；‎ a2＋a6＋…＋a2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝＝－503×1 005；‎ a3＋a7＋…＋a 2 011＝；‎ a4＋a8＋…＋a2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝＝503×1 009；‎ 故S2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009‎ ‎＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．‎ ‎15．答案：(，0)‎ 解析：由已知，得 作出其图象如图，结合图象可知m的取值范围为0＜m＜，‎ 当x＞0时，有－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，‎ 于是x1x2＝m．‎ 当x＜0时，有2x2－x－m＝0，‎ 于是．‎ 故．‎ 设h(m)＝m(1－)，‎ ‎∵h′(m)＝(1－)＋［m()］‎ ‎＝，‎ ‎∴函数h(m)单调递减．‎ 故x1x2x3的取值范围为(，0)．‎ ‎16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，‎ 则．‎ ‎(2)依题意得，X1的分布列为 X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的分布列为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P ‎(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，‎ E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．‎ 因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．‎ ‎17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝．‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinα·cosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝．‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝．‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝．‎ ‎18．解：(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．‎ 设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1，0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝(，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．‎ ‎∵·＝×0＋1×1＋(－1)×1＝0，‎ ‎∴B1E⊥AD1．‎ ‎(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，‎ 使得DP∥平面B1AE．‎ 此时＝(0，－1，z0)．‎ 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．‎ ‎∵n⊥平面B1AE，‎ ‎∴n⊥，n⊥，得 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，，－a)．‎ 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得．‎ 又DP平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时．‎ ‎(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D．‎ ‎∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．‎ 又由(Ⅰ)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，‎ ‎∴AD1⊥平面DCB1A1．∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．‎ 设与n所成的角为θ，则．‎ ‎∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，‎ ‎∴|cosθ|＝cos30°，即，‎ 解得a＝2，即AB的长为2．‎ ‎19．解：方法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，‎ 所以4a＝8，a＝2．‎ 又因为，即，所以c＝1．‎ 所以．‎ 故椭圆E的方程是．‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且＝0，‎ 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，‎ 化简得4k2－m2＋3＝0．(*)‎ 此时，y0＝kx0＋m＝，‎ 所以P(，)．‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．‎ 设M(x1,0)，则对满足(*)式的m，k恒成立．‎ 因为＝(，)，＝(4－x1,4k＋m)，‎ 由，‎ 得，‎ 整理，得(4x1－4)＋x12－4x1＋3＝0．(**)‎ 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1．‎ 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M．‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且＝0，‎ 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，‎ 化简得4k2－m2＋3＝0．(*)‎ 此时，y0＝kx0＋m＝，‎ 所以P(，)．‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．‎ 取k＝0，，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取，m＝2，此时P(1，)，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．‎ 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：‎ 因为M的坐标为(1,0)，所以＝(，)，＝(3,4k＋m)，‎ 从而，‎ 故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M．‎ ‎20．解：(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率k＝2a＝0，‎ 所以a＝0，即f(x)＝ex－ex．‎ 此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1．‎ 当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．‎ 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．‎ ‎(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，‎ 令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．‎ 因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．‎ ‎(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；‎ 当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．‎ 故g(x)只有唯一零点x＝x0．‎ 由P的任意性，a≥0不合题意．‎ ‎(2)若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a．‎ 令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．‎ ‎①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．‎ 所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．‎ ‎②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．‎ 又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝ex＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，‎ 其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．‎ 由于a＜0，则必存在x2＜x1，‎ 使得ax22＋bx2＋c＜0．‎ 所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，‎ 即g(x)在R上至少有两个零点．‎ ‎③若x0＜x*，仿②并利用，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．‎ 综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．‎ ‎21． (1)选修4－2：矩阵与变换 解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．‎ 由，得 又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，‎ 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．‎ 依题意得解得或 因为a＞0，所以 ‎②由①知，，，‎ 所以|A2|＝1，(A2)－1＝．‎ ‎(2)选修4－4：坐标系与参数方程 解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)．‎ 又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，‎ 故直线OP的平面直角坐标方程为．‎ ‎②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为．‎ 又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离，故直线l与圆C相交．‎ ‎(3)选修4－5：不等式选讲 解：①因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m＝1．‎ ‎②由①知，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)()‎ ‎≥．‎