2019高考理科数学模拟试题一

2019高考理科数学模拟试题一

‎ 2019高考理科数学模拟试题（一）‎ 考试时间：120分钟 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（　　）‎ A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}‎ ‎2．复数z=的共轭复数的虚部为（　　）‎ A．﹣i B．﹣ C．i D．‎ ‎3．已知命题p：存在向量，，使得•=||•||，命题q：对任意的向量，，，若•=•，则=．则下列判断正确的是（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题 ‎4．2017年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（　　）‎ A．10° B．20° C．70° D．80°‎ ‎6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（　　）‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b ‎7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在约束条件下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是（　　）‎ A．[3，8] B．[5，8] C．[3，6] D．[4，7]‎ ‎10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0‎ ‎12．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知，则二项式展开式中的常数项是　 　．‎ ‎14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为　 　．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为　 　．‎ ‎16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*‎ 恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．‎ ‎19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；‎ ‎（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）‎ ‎（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎22．（10分）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．‎ ‎（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；‎ ‎（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．‎ ‎23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|‎ ‎（1）求f（x）≥1的解集 ‎（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t）．求a的取位范围．‎ ‎　‎ ‎2018高考理科数学模拟试题（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（　　）‎ A．{（0，1）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}‎ ‎【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，‎ 由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，‎ 则M∩N={x|x≥0}，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．复数z=的共轭复数的虚部为（　　）‎ A．﹣i B．﹣ C．i D．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．‎ ‎【解答】解：∵z==，‎ ‎∴．‎ ‎∴复数z=的共轭复数的虚部为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：存在向量，，使得•=||•||，命题q：对任意的向量，，，若•=•，则=．则下列判断正确的是（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题 ‎【分析】命题p：存在同方向向量，，使得•=||•||，即可判断出真假．命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），满足•=•，则≠，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得•=||•||，真命题．‎ 命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），则•=•，≠，因此是假命题．‎ 则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．2017年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出P（A）==，P（AB）==，利用P（B|A）=，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，‎ ‎∴P（B|A）==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．‎ ‎　‎ ‎5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（　　）‎ A．10° B．20° C．70° D．80°‎ ‎【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，‎ 点P在第一象限，OP的斜率 tanα===cot20°=tan70°，‎ 由α为锐角，可知α为70°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（　　）‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b ‎【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即可．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=﹣1﹣=﹣＜0，‎ 故f（x）在（0，+∞）递减，‎ 而5＞π＞，‎ ‎∴f（5）＜f（π）＜f（），‎ 即c＜b＜a，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．‎ 又∵输出的函数值在区间内，‎ ‎∴x∈[﹣2，﹣1]‎ 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．‎ ‎【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，‎ 半个圆锥的体积为××π×1×=；‎ 四棱锥的体积为×2×2×=；‎ 故这个几何体的体积V=；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．在约束条件下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是（　　）‎ A．[3，8] B．[5，8] C．[3，6] D．[4，7]‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．‎ ‎【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）． ‎ 由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，‎ s=6时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，‎ 直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，x﹣y取得最大值；‎ 由，解得A（5，1）代入z=x﹣y得z=5﹣1=4，‎ 即z=x﹣y的最大值是4，‎ s=9时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点B时，‎ 直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，x﹣y取得最大值；‎ 由解得B（8，1）代入z=x﹣y得z=8﹣1=7，‎ 即z=x﹣y的最大值是7，‎ 目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是：[4，7]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．‎ ‎　‎ ‎10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=3，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即a=，b=时等号成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0‎ ‎【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，‎ ‎∴f′（x）=（）ex，‎ 设h（x）=x3+x2+ax﹣a，‎ ‎∴h′（x）=3x2+2x+a，‎ a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，‎ ‎∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，‎ 且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，‎ ‎∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；‎ a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，‎ 此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，‎ 即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；‎ a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），‎ ‎∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，‎ 即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．‎ 综上所述，a＞0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎【分析】点Q（c，）在椭圆的内部，，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．‎ ‎【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．‎ ‎|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|‎ 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，‎ 要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c ‎，，则椭圆离心率的取值范围是（，）．‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知，则二项式展开式中的常数项是　240　．‎ ‎【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为Tr+1=C6r2rx6-32r，‎ 令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．‎ 故答案为：240．‎ ‎【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为　0　．‎ ‎【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于y轴对称，φ=，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=|MN|，且，求解|MN|和A，即得函数f（x）=Asin（ωx+φ）‎ ‎【解答】解：由题意，图象关于y轴对称，φ=，‎ ‎∵△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=|MN|，且，‎ 解得：|MN|=2，|PM|=‎ 在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高为1，即P点的纵坐标是1，‎ 故得A=1，‎ T=2|MN|=4，‎ ‎∴‎ ‎∴函数f（x）=Asin（ωx+φ）=sin（）=，‎ 当x=1时，即f（1）=cos=0．‎ 故答案为0．‎ ‎【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为　=1（x≥2）　．‎ ‎【分析】‎ 利用A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，求出b，即可求出点C的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，‎ ‎∴由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，‎ ‎∴a=2，b=，‎ ‎∴点P的轨迹方程为=1（x≥2），‎ 故答案为=1（x≥2）．‎ ‎【点评】本题考查点C的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　（，）　．‎ ‎【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得最小值和最大值．‎ ‎【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，‎ 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；‎ 而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，‎ 液面的形状都不可能是三角形；‎ 所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，‎ 并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是难题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题，满分70分）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn==‎ ‎==2，‎ ‎∴数列{bn}是公差为2的等差数列，‎ 又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．‎ ‎∴2n=，解得．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，‎ ‎∴cncn+2==，‎ ‎∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn=…+‎ ‎=2＜3．‎ 要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，‎ 解得m≥3或m≤﹣4，‎ 而m＞0，故最小值为3．‎ ‎【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；‎ ‎（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；‎ ‎（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]‎ 的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图，得 该校高三学生本次数学考试的平均分为 ‎0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100‎ ‎+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（4分）‎ ‎（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，‎ 所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（8分）‎ ‎（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，‎ 依题意ξ的所有取值为0、1、2，‎ 当ξ=0时，；‎ 当ξ=1时，；‎ 当ξ=2时，；‎ ‎∴．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考查了运用统计知识解决简单实际问题的能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；‎ ‎（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；‎ ‎（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．‎ 方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角．‎ ‎【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，‎ ‎∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，‎ 又∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，‎ ‎∴PA∥平面QBC．‎ ‎（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，‎ ‎∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，‎ ‎∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．‎ ‎∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，‎ ‎∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，‎ ‎∴四边形PADQ是矩形．‎ 设PA=2a，‎ ‎∴，PB=2a，∴．‎ 过Q作QR⊥PB于点R，‎ ‎∴QR==，‎ ‎==，‎ 取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，‎ ‎∵PR=，，∴MA∥RN．‎ ‎∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．‎ ‎∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．‎ 连接QN，则QN===．又，‎ ‎∴cos∠QRN===．‎ 即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．‎ ‎（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，‎ ‎∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，‎ ‎∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．‎ ‎∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．‎ ‎∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，‎ ‎∴四边形PADQ是矩形．‎ 分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），‎ 设平面QPB的法向量为．‎ ‎∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．‎ ‎∴令x=1，则y=z=﹣1．‎ 又∵平面PAB的法向量为．‎ 设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===‎ 又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角 ‎∴．‎ ‎【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．‎ ‎【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），‎ 代入椭圆方程可得+=1，‎ 由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，‎ 解得c=2，即a2﹣b2=4，‎ 解得a=2，b=2，‎ 即有椭圆的方程为+=1；‎ ‎（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，‎ 可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，‎ 可得△MAB的面积为×2×4=4；‎ 设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，‎ 可得中点M（，），‎ ‎|MP|==，‎ 设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：‎ ‎（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，‎ 设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，‎ 则|AB|=•‎ ‎=•，‎ 可得△MAB的面积为S=•••‎ ‎=4，‎ 设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，‎ 可得S＜4，‎ 且S＞4=‎ 综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）‎ ‎（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；‎ ‎（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞‎ ‎）上恒成立．‎ 即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．‎ ‎∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，‎ ‎∴a≥﹣4；‎ 经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．‎ ‎∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，‎ 即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．‎ 记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．‎ ‎∴，．‎ ‎∴‎ 令．‎ ‎，‎ 记．‎ ‎∴，‎ P’(-12)=-4，P’(0)=2‎ 在使得p′（x0）=0．‎ 当 ，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．‎ 而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，‎ ‎∵K'-12=1-2ln2<0,K'0=0‎ ‎∴当x∈-12，0，K'(x)<0，‎ ‎∴k（x）在单调递减，‎ 即．‎ ‎【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎　‎ ‎22．（10分）（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．‎ ‎（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；‎ ‎（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．‎ ‎【分析】（1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．‎ ‎（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为为参数）．‎ 消去参数得它的普通方程为：，‎ 将其化成极坐标方程为：，‎ 分别代入和得|OA|2=|OB|2=，‎ 因∠AOB=，故△AOB的面积S=|OA||OB|=．‎ ‎（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t﹣2）2=0，‎ ‎∴t=2，代入l的参数方程，得x=2，y=，‎ ‎∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，）．‎ ‎【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|‎ ‎（1）求f（x）≥1的解集 ‎（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t）．求a的取位范围．‎ ‎【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）由题意可得g（x）min≥f（x）max，利用绝对值三角不等还分别求得g（x）min 和f（x）max，解不等式可得g（x）min≥f（x）max，求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，‎ 等价于①，或 ②，或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得≥x≥，解③求得x＞，‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≥}．‎ ‎（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max．‎ ‎∵函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）max=4．‎ ‎∵g（x）=|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|=|a+1|，故g（x）min=|a+1|，‎ ‎∴|a+1|≥4，∴a+1≥4，或a+1≤﹣4，求得a≥3，或a≤﹣5，‎ 故要求的a的范围为{x|a≥3，或a≤﹣5 }．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．‎ ‎　‎