高考北京卷理数试题含答案

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高考北京卷理数试题含答案

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)已知集合A=B=,则 ‎ (A) (B) ‎(C) (D) ‎ ‎(2)若x,y满足 ,则2x+y的最大值为 ‎(A)0 (B)3‎ ‎(C)4 (D)5‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为 ‎(A)1 ‎ ‎(B)2‎ ‎(C)3 ‎ ‎(D)4‎ ‎(4)设a,b是向量,则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的 ‎(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知x,yR,且xyo,则 ‎(A)- (B) ‎(C) (-0 (D)lnx+lny ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ‎(A) ‎ ‎(B) ‎(C) ‎(D)1‎ ‎(7)将函数图像上的点P( ,t )向左平移s(s﹥0) 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数的图像上,则 ‎(A)t= ,s的最小值为 (B)t= ,s的最小值为 ‎ ‎(C)t= ,s的最小值为 (D)t= ,s的最小值为 ‎ ‎(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 ‎(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 ‎ ‎(B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ ‎(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 ‎ ‎(D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎(9)设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=_______________。‎ ‎(10)在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答)‎ ‎(11)在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,‎ ‎ 则 =____________________.‎ ‎(12)已知为等差数列,为其前n项和,若 ,,则.‎ ‎(13)双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=_______________.‎ ‎(14)设函数 ‎ ①若a=0,则f(x)的最大值为____________________;‎ ‎ ②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是_________________。‎ 三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 在ABC中,‎ ‎(I)求 的大小 ‎(II)求 的最大值 ‎(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎(I) 试估计C班的学生人数;‎ ‎(II) 从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(III)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ,表格中数据的平均数记为 ,试判断 和的大小,(结论不要求证明)‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,‎ ‎(I)求证:PD平面PAB; ‎ ‎(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(II I)在棱PA上是否存在点M,使得BMll平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由。‎ ‎(18)(本小题13分)‎ 设函数f(x)=xe +bx,曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,‎ ‎(I)求a,b的值;‎ ‎ (I I) 求f(x)的单调区间。‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(I I)设P的椭圆C上一点,直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。‎ 求证:lANl lBMl为定值。‎ ‎(20)(本小题13分)‎ ‎ 设数列A: , ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 < ,则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G(A)是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。‎ ‎(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;‎ ‎(I I)证明:若数列A中存在使得>,则G(A) ;‎ ‎(I I I)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则G(A)的元素个数不小于 -。‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)C (2)C (3)B (4)D ‎(5)C (6)A (7)A (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10)‎ ‎(11) (12)‎ ‎(13) (14) ‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)由余弦定理及题设得.‎ 又因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ ‎,‎ 因为,所以当时,取得最大值.‎ ‎(16)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)由题意知,抽出的名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样方法,班的学生人数估计为.‎ ‎(Ⅱ)设事件为“甲是现有样本中班的第个人”,,‎ 事件为“乙是现有样本中班的第个人”,,‎ 由题意可知,,;,.‎ ‎,,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,‎ 因此 ‎(Ⅲ).‎ ‎(17)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)因为平面平面,,‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连结.‎ 因为,所以.‎ 又因为平面,平面平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ 因为,所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得,‎ ‎.‎ 设平面的法向量为,则 即 令,则.‎ 所以.‎ 又,所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)设是棱上一点,则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面,所以平面当且仅当,‎ 即,解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面,此时.‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ 依题设,即 解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 由即知,与同号.‎ 令,则.‎ 所以,当时,,在区间上单调递减;‎ 当时,,在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值,‎ 从而.‎ 综上可知,,,故的单调递增区间为.‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 设,则.‎ 当时,直线的方程为.‎ 令,得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 令,得.从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时,,‎ 所以.‎ 综上,为定值.‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)的元素为和.‎ ‎(Ⅱ)因为存在使得,所以.‎ 记,‎ 则,且对任意正整数.‎ 因此,从而.‎ ‎(Ⅲ)当时,结论成立.‎ 以下设.‎ 由(Ⅱ)知.‎ 设,记.‎ 则.‎ 对,记.‎ 如果,取,则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素,所以.‎ 从而对任意,,特别地,.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数不小于.‎
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