高考数学函数与导数压轴题精练

高考数学函数与导数压轴题精练

‎　2015年高考数学导数压轴题精练 ‎1.已知函数．‎ ‎（1）若在上是增函数，求得取值范围；‎ ‎（2）在（1）的结论下，设，，求函数的最小值.‎ ‎2.已知对任意，直线都不是的切线．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）求证在上至少存在一个，使得成立．‎ ‎3.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在上是增函数，且对于内的任意实数,当为偶数时，恒有成立，求实数的取值范围；‎ ‎4.已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)．（a是常数） ‎ ‎(I)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(II) 当在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎(III)求证:当时．‎ ‎5.已知函数，（为常数）．‎ ‎ （Ⅰ）若函数在时取得极小值，试确定的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线 只可能与直线、（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．‎ ‎6.已知定义在正实数集上的函数，，其中．（Ⅰ）设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；（Ⅱ）设，证明：若，则对任意，， 有．‎ ‎7.已知对任意的恒有成立。‎ ‎（1）求正数与的关系；‎ ‎ （2）若 ‎ 对恒成立，求函数的解析式；‎ ‎ ‎ ‎8.设函数，.‎ ‎⑴当时，在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎⑵当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数取值范围；‎ ‎⑶是否存在实数，使函数和在其公共定义域上具有相同的单调性，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎9．已知函数为自然对数的底数）‎ ‎ （1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；‎ ‎ （2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎10.已知函数（）．‎ ‎ （1）当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎ （2）当函数在单调时，求的取值范围；‎ ‎ （3）求函数既有极大值又有极小值的充要条件。‎ ‎11.设函数 ‎ （I）当图像上的点到直线距离的最小值；‎ ‎ （II）是否存在正实数a，使对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎12.已知 ‎ （Ⅰ）的单调区间和最值；‎ ‎ （Ⅱ）若 ‎13.已知函数满足,‎ 当时,,当时, 的最大值为-4．‎ ‎(I)求实数的值；‎ ‎(II)设，函数，．若对任意的,‎ 总存在,使,求实数的取值范围．‎ ‎14.已知函数（a∈R）。‎ ‎ （I）我们称使=0成立的x为函数的零点。证明：当a=1时，函数只有一个零点； ‎ ‎ （II）若函数在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。‎ ‎15.定义：‎ ‎（其中）。‎ ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）若恒成立，试求实数a的取值范围；‎ ‎16.已知函数 ‎ （1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎ （2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎ （3）设各项为正的数列满足：‎ 求证：‎ ‎2015年高考数学导数压轴题精练 详解答案 ‎1.解：（1），在上是增函数，‎ 在上恒成立，即恒成立.‎ ‎（当且仅当时取等号），所以.‎ 当时,易知在(0,1)上也是增函数,所以.‎ ‎（2）设，则，，.‎ 当时，在区间上是增函数，所以的最小值为.‎ 当时，.‎ 因为函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，所以在上为增函数，所以的最小值为.‎ 所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为.‎ ‎2. 解：（I）， …………（2分）‎ ‎∵对任意，直线都不是的切线，∴，‎ ‎，实数的取值范围是； …………（4分）‎ ‎（II）方法1：问题等价于当时，， …………（6分）‎ 设，在上是偶函数，‎ 故只要证明当时，， ‎ ‎①当上单调递增且， ‎ ‎； …………（8分）‎ ‎②当，列表： ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大 极小 在上递减，在上递增， …………（10分）‎ ‎∵，∴时，，时，，‎ ‎∴，‎ 若，则；‎ 若，则；‎ ‎∴在上至少存在一个，使得成立． …………（12分）‎ 方法2：反证法 假设在上不存在，使得成立，即，，‎ 设，∵在上是偶函数，‎ ‎∴时，， …………（6分）‎ ‎①当上单调递增且， ‎ ‎，与矛盾； …………（8分）‎ ‎②当，列表： ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大 极小 在上递减，在上递增， …………（10分）‎ ‎∵，∴时，，时，，‎ ‎∴，‎ ‎，矛盾；‎ ‎，矛盾；‎ 综上，，与矛盾，‎ 假设不成立，原命题成立． …………（12分）‎ ‎3. 解：由已知，得函数f(x)的定义域为. …………………1分 ‎（Ⅰ）当k为偶数时，，则,又，‎ ‎，即，得x，所以此时函数的单调递增区间为.‎ 当k为奇数时，，则在定义域内恒成立，所以此时函数的单调增区间为. …………… 4分 ‎（Ⅱ）∵函数在上是增函数 ‎∴在上恒成立，即在上恒成立，‎ 即，∴. ① ………………………6分 由（Ⅰ）可知当k为偶数时，‎ 得01)，若a≤1，x>1，则f′(x)>0，‎ ‎　　∵f(x)在[1，＋∞）上连续，‎ ‎　　∴f(x)在[1，＋∞）上是单调递增函数，‎ ‎　　∴当a≤1，x≥1时，f(x)min=f(1)=1，‎ ‎　　∴函数有最小值1，无最大值． ---------（4分）‎ ‎　（Ⅱ）记g(x)=f(x)－2ax=x2－2alnx－2ax，‎ ‎．‎ ‎　　①充分性：若，则g(x)=x2－lnx－x，‎ ‎　　g′(x)=(2x2－x－1)=(2x＋1)(x－1)．‎ ‎　　当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)在（0，1）上是单调递减函数；‎ ‎　　当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在（1，＋∞）上是单调递增函数．‎ ‎　　∴当x=1时，g(x)min=g(1)=0，即g(x)≥0，当且仅当x=1时取等号，‎ ‎　　∴方程f(x)=2ax有唯一解．‎ ‎　　②必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解．‎ ‎　　令g′(x)=0，得x2－ax－a=0．‎ ‎　　∵a>0，x>0，∴x1=(舍去)，x2=．‎ ‎　　当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调递减函数；‎ ‎　　当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调递增函数．‎ ‎　　∴当x=x2时，g′(x2)=0，g(x)min=g(x2)．‎ ‎　　∵g(x)=0有唯一解，∴g(x2)=0，‎ ‎　　‎ ‎　　∴2alnx2＋ax2－a=0，∵a>0，∴2lnx2＋x2－1=0，（*）‎ ‎　　设函数h(x)=2lnx＋x－1，∵在x>0时h(x)是增函数，‎ ‎　　∴h(x)=0至多有一解．‎ ‎　　∵h(1)=0，∴方程(*)的解为x2=1，即，解得．‎ ‎　　由①、②知，“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“”． --（12分）‎ ‎13. (I)由已知,得,‎ ‎∴． ………………………………．4分 ‎∵时,,‎ 设,则, ∴,‎ ‎∴时, ,‎ 所以,∵，，‎ ‎∵，∴．又由,可得,‎ ‎∴在上是增函数,在上是减函数,‎ ‎∴．‎ ‎∴=-1 ． ……………………．．7分 ‎（II）设的值域为A，的值域为B，则由已知，对于任意的，使得，． ……………．9分 由（I）=-1，当时,,,‎ ‎∵,∴，在上单调递减函数,‎ ‎∴的值域为 A=． ……………………．．10分 ‎∵,‎ ‎∴（1）当时，在上是减函数，‎ 此时，的值域为，‎ 为满足，又∴即． …………．11分 ‎（2）当时，在上是单调递增函数，‎ 此时，的值域为，为满足，又,‎ ‎∴,∴,‎ 综上可知b的取值范围是． …………．12分 ‎14. 解：（I）当a=1时，，其定义域为（0，+∞），‎ ‎，令，‎ 解得或，又∵x>0，故x=1，当01时， ，∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，当x=1时，‎ 函数取得最大值，即，所以函数只有一个零点；（5分）‎ ‎ （II）因为，其定义域为（0，+∞），‎ 所以，‎ ‎（1）当a=0时，，‎ 所以在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意。（7分）‎ ‎ （2）当a>0时，等价于，‎ 即x>，此时，的单调减区间为（，+∞），依题意，‎ 得，解之得。（9分）‎ ‎ （3）当a<0时，等价于，‎ 即0

查看更多