高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
一、选择题
1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案] A
[解析] f(x)＝cos(2x＋)＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.
(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝( )
A．2π B．π C. D.
[答案] B
[解析] y＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x
＝＋sin，∴最小正周期T＝π.
2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，)的模为，则cos2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵|a|2＝cos2α＋2＝cos2α＋＝，
∴cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－.
3．已知tan＝3，则cosα＝( )
A. B．－ C. D．－
[答案] B
[解析] cosα＝cos2－sin2＝
＝＝＝－，故选B.
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
[答案] B
[解析] ∵sinAsinB＝cos2，
∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，
∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，
∴cos(A－B)＝1，
∵－π
cosx，
∴sinx－cosx＝，故选D.
7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是( )
A．x≤y B．x＜y
C．x≥y D．x＞y
[答案] D
[解析] ∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.
(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是( )
A．2ab>c2 B．a2＋b2a2 D．b2＋c20，
∴0，
由余弦定理得，cosC＝<0，
∴a2＋b2－c2<0，故应选B.
8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[答案] D
[解析] y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，
将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移个单位得，sin2＝sin＝－sin＝－cos2x，故选D.
9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，
则tan的值为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，
∵<α<π，∴cosα＝－，∴tanα＝－，
∴tan＝＝.
10．(2010·湖北黄冈模拟)若≤α≤，则＋等于( )
A．－2cos B．2cos
C．－2sin D．2sin
[答案] C
[解析] ∵≤α≤，∴≤≤.
∴＋
＝＋
＝＋
＝－(sin＋cos)－(sin－cos)
＝－2sin.
二、填空题
11．(2010·广东罗湖区调研)若sin＝，则cos2θ＝________.
[答案] －
[解析] ∵sin＝，∴cosθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝的最大值与最小值的积是________．
[答案] －
[解析] y＝＝
＝·＝＋
＝sin2x·cos2x＝sin4x，
所以最大与最小值的积为－.
13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
[答案] 1
[解析] y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为
＝
＝＝1.
14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________.
[答案]
[解析] 设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ＝＝，
∵tanθ＝，∴tan＝(负值舍去)，
∴tan2＝.
(理)＝________.
[答案] －4
[解析] ＝
＝＝－4.
三、解答题
15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析] (1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－)2－，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.
(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx
＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋sin2x＝
＝sin.
∴f(x)的最小正周期T＝π.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1.
16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．
[解析] (1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，
因为C为锐角，所以C＝，
在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝.
(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.
(1)求tan2A的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵·＝(sinB＋cosB)sinC＋
cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，
∴sinA＋cosA＝－①
两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，
∵－<0，∴A∈，
∴sinA－cosA＝＝②
联立①②得：sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝－，
∴tan2A＝＝＝－.
(2)∵tanA＝－，
∴＝＝
＝＝13.
17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.
(1)求m和a的值；
(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．
[解析] (1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax
＝－sin2ax＝－sin＋，
由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，
所以m＝－或m＝，
由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，
所以m＝－或m＝，a＝2.
(2)∵f(x)＝－sin＋，
∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，
由0≤－≤ (k∈Z)，得k＝1或k＝2，
因此点A的坐标为或.
(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f ′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f ′(x)，求的值．
[解析] (1)f(x)＝sinx＋cosx，
∴f ′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)
＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝1＋.
最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(x)＝2f ′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinx，∴tanx＝，
∴＝＝＝2.
