专题六导数和函数高考大题类型自己总结

专题六导数和函数高考大题类型自己总结

导数高考大题（教师版）‎ 类型一：对单调区间的分类讨论 ‎1、已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.‎ 类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题 ‎2、已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎ （Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ 类型三：零点个数问题 ‎3、已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．‎ 类型四：一般的恒成立问题 ‎4．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，‎ ‎(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；‎ 类型五：用构造法证明不等式问题 ‎5、 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎ （I）求，的值；‎ ‎ （II）证明：当，且时，．‎ ‎6、设函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.‎ 近三年新课标导数高考试题 ‎ [2011] ‎ ‎1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）‎ ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）‎ ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎4、（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ ‎[2012]‎ ‎5、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为（ ）‎ ‎（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）‎ ‎6、（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）满足 ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若求（a+1）b的最大值。‎ ‎【2013年】‎ ‎7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.‎ ‎8、（21）（本小题满分共12分）‎ 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值 ‎（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。‎ 导数高考大题（教师版）‎ 类型一：对单调区间的分类讨论 ‎1、已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）的定义域是，. …………………………2分 ‎（1）当时，成立，的单调增区间为； ……3分 ‎（2）当时，‎ 令，得，则的单调增区间是. …………4分 令,得，则的单调减区间是. …………5分 综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是. ………………………6分 ‎（Ⅱ）当时，成立，. ………………………………7分 当时，成立，‎ 即时，成立.‎ 设， 所以=. ‎ 当时，，函数在上为减函数； …………11分 时，，函数在上为增函数. …………12分 则在处取得最小值，. 则.‎ 综上所述，时，成立的的范围是. …………13分 类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题 ‎2、已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎ （Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ） …………1分 ‎ 由已知，解得. …………3分 ‎（II）函数的定义域为.‎ ‎（1）当时, ，的单调递增区间为；……5分 ‎（2）当时. ‎ ‎ 当变化时，的变化情况如下：‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 ‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；‎ ‎ 单调递增区间是. …………8分 ‎ （II）由得，…………9分 ‎ 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ ‎ 即在上恒成立. …………11分 令，在上，‎ 所以在为减函数. , 所以. ‎ 类型三：零点个数问题 ‎3、已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．‎ 解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分 ‎ ∵ f ′ (x) = ……2分 ‎∴，则a = 1．………4分 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ) 知 ‎ ∴ f ′ (x) = ………6分 ‎ 由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．‎ ‎∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，‎ 单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分 ‎ (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．‎ 且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0． ………10分 ‎ ‎∴ f (x) 的极大值为 ………11分 ‎ f (x)的极小值为 ……12分 ‎ 由题意可知 ‎ 则 ………14分 ‎ 类型四：一般的恒成立问题 ‎4．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，‎ ‎(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；‎ ‎1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.‎ 也就是在恒成立.………1分 令 ，‎ 则，……2分 在上，在上，‎ 因此，在处取极小值，也是最小值，‎ 即，所以.……4分 ‎(Ⅱ)当，‎ ‎，由得. ………6分 ‎①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值. .‎ 由于 因此， ………8分 ‎②当，，因此上单调递增，‎ ‎…‎ 类型五：用构造法证明不等式问题 ‎5、 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎ （I）求，的值；‎ ‎ （II）证明：当，且时，．‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ 考虑函数，则 所以当时，故 当 当时，‎ 从而当 类型六：最值问题 ‎6、设函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知，‎ 所以， ……………2分 由，得， ……………3分 所以，在区间上，，‎ 函数在区间上单调递减； ……………4分 在区间上，，‎ 函数在区间上单调递增； ……………5分 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以曲线在点处切线为：. ……………7分 切线与轴的交点为，与轴的交点为， ……………9分 因为，所以， ……………10分 ‎， ……………12分 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.‎ 所以，当时，有最大值，此时，所以，的最大值为. ‎ 近三年新课标导数高考试题 ‎ [2011] ‎ ‎1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于D ‎ （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎4、（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ ‎（21）解：（Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。‎ 考虑函数，则。‎ ‎(i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故 (x）>0,‎ 而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ ‎[2012]‎ ‎5、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B ‎（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）‎ ‎6、（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）满足 ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若求（a+1）b的最大值。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ （2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 ‎【2013年】‎ ‎7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.‎ ‎【解析】由图像关于直线=－2对称，则 ‎0==，‎ ‎0==，解得=8，=15，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ 当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，‎ 当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，‎ ‎∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.‎ ‎8、（21）（本小题满分共12分）‎ 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值 ‎（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 设函数==（），‎ ‎==，‎ 有题设可得≥0，即，‎ 令=0得，=，=－2，‎ ‎（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时， ＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而 ‎==≥0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(2)若，则=，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(3)若，则==＜0，‎ ‎∴当≥－2时，≤不可能恒成立，‎ 综上所述，的取值范围为[1,].‎