三角函数高考题

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三角函数高考题

1、 在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b ‎2、在中,角的对边分别为,。‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的面积.‎ ‎3、 (本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,,且C为锐角,求sinA.‎ ‎4、设向量 ‎ ‎(1)若与垂直,求的值; ‎ ‎(2)求的最大值; ‎ ‎(3)若,求证:∥‎ ‎5、在中,角所对应的边分别为,,‎ ‎,求及 ‎6、(本小题满分12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,,,求B.‎ ‎7、在△中,所对的边分别为,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求,,.‎ ‎8、△中,所对的边分别为,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求. ‎ ‎9、在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小: ‎ ‎(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。‎ ‎10.在,已知,求角A,B,C的大小.‎ ‎11、已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域.‎ ‎12、已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ‎(Ⅰ)求f()的值;‎ ‎(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.‎ ‎13、已知函数,的最大值是1,其图像经过点.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)已知,且,,求的值.‎ ‎14、已知函数,.‎ ‎(I)设是函数图象的一条对称轴,求的值.‎ ‎(II)求函数的单调递增区间.‎ ‎15、如图,函数的图象与轴交于点,且在该点处切线的斜率为.‎ ‎(1)求和的值;(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.‎ ‎16、已知, f(x)=。‎ ‎(1)求函数在[0,p]上的单调增区间;‎ ‎(2)当时,f(x)的最大值为4,求实数m的值。‎ ‎17、已知函数 ‎ ‎ ‎ (1)求 ‎ (2)当的值域。‎ ‎18、已知函数为常数).‎ ‎(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的单调递增区间;‎ ‎(3) 若时,的最小值为,求的值.‎ ‎19、已知函数 ‎(1)将写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;‎ ‎(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为,试求角的范围及此时函数的值域.‎ ‎20、已知函数 ‎ ‎ ‎ (1)求 ‎ (2)当的值域。‎ ‎21、已知 ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值。‎ ‎22、已知 ‎(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值。‎ ‎23、已知求的值 24、 求函数的最大值与最小值。‎ ‎25、已知<<<,‎ ‎(Ⅰ)求的值. (Ⅱ)求.‎ ‎26、为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。‎ 27、 如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)‎ ‎29、(如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.‎ 北 乙 甲 ‎30、(山东理20)如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ ‎1、解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又,‎ ‎,即 由正弦定理得,故………………………②‎ 由①,②解得。‎ ‎2、解(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎ 又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,‎ ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积 ‎3、解(1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. ‎ ‎(2)==-, 所以, 因为C为锐角, 所以,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎.‎ ‎4、‎ ‎5解:由得 ‎∴ ∴‎ ‎∴,又 ‎∴‎ 由得 ‎ 即 ∴‎ 由正弦定理得 ‎6、解:由 cos(AC)+cosB=及B=π(A+C)‎ ‎ cos(AC)cos(A+C)=,‎ cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得 ‎ 故,‎ ‎ 或 (舍去),‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。‎ ‎7、解:(1)由 得 ‎ ‎ 则有 =‎ ‎ 得 即.‎ ‎(2) 由 推出 ;而,‎ 即得,‎ ‎ 则有 解得 ‎ ‎8、解:(1) 因为,即,‎ 所以,‎ 即 ,‎ 得 . 所以,或(不成立).‎ 即 , 得,所以.‎ 又因为,则,或(舍去) ‎ 得 ‎(2), ‎ 又, 即 , ‎ 得 ‎9、解(1)由及正弦定理得, ‎ 是锐角三角形,‎ ‎(2)解法1:由面积公式得 由余弦定理得 ‎ 由②变形得 解法2:前同解法1,联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 ‎10、解:设 由得,所以 又因此 ‎ 由得,于是 所以,,因此 ‎,既 由A=知,所以,,从而 或,既或故 或 ‎11、解(1)由最低点为得A=2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,‎ 由点在图像上的 故 ‎ 又 ‎(2)‎ 当=,即时,取得最大值2;当 即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2] ‎ ‎12、解(Ⅰ)f(x)=‎ ‎=‎ ‎=2sin(-)‎ 因为f(x)为偶函数,‎ 所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,‎ 因此sin(--)=sin(-).‎ 即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),‎ 整理得 sincos(-)=0.因为>0,且x∈R,所以cos(-)=0.‎ 又因为0<<π,故 -=.所以f(x)=2sin(+)=2cos.‎ 由题意得,所以 故 f(x)=2cos2x.‎ 因为 ‎ ‎(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.‎ 所以 当 (k∈Z),‎ 即4kπ+≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为   (k∈Z)‎ ‎13、解(1)依题意有,则,将点代入得,‎ 而,,,故;‎ ‎(2)依题意有,而,‎ ‎,‎ ‎14、解:(I)由题设知.‎ 因为是函数图象的一条对称轴,所以,‎ 即().‎ 所以.‎ 当为偶数时,,‎ 当为奇数时,.‎ ‎(II)‎ ‎.‎ 当,即()时,‎ 函数是增函数,‎ 故函数的单调递增区间是().‎ ‎15、解:(1)将,代入函数得,‎ 因为,所以.‎ 又因为,,,所以,‎ 因此.‎ ‎(2)因为点,是的中点,,‎ 所以点的坐标为.‎ 又因为点在的图象上,所以.‎ 因为,所以,‎ 从而得或.‎ 即或.‎ ‎16、解:(1)依题意得:‎ 令 得 ‎ 上的单调增区间为 ‎(2)‎ 依题意得:‎ ‎17、解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ 根据正弦函数的图象可得:‎ ‎ 当时,‎ ‎ 取最大值1 ‎ ‎ 当时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎∴的最小正周期. ‎ ‎(2) 当, ‎ 即时,函数单调递增,‎ 故所求区间为 ‎ ‎(3) 当时, ‎ ‎∴当时取得最小值, ‎ 即, ∴.‎ ‎19、 ‎ ‎ = ‎ ‎= ‎ 若为其图象对称中心的横坐标,即=0, -‎ ‎, ‎ 解得: ‎ ‎ (2), ‎ 即,而,所以。 ‎ ‎,, ‎ 所以 ‎ ‎20、解:(1) 2分 ‎ 4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6分 ‎ (2)‎ ‎ 根据正弦函数的图象可得:‎ ‎ 当时,‎ ‎ 取最大值1 8分 ‎ 当时 ‎ 10分 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎21、解:(Ⅰ)由得,即,又,所以为所求。‎ ‎(Ⅱ)=‎ ‎===。‎ ‎22、解:(Ⅰ)由,得,所以=。‎ ‎(Ⅱ)∵,∴。‎ ‎23、解:‎ ‎24、【解】:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于函数在中的最大值为 ‎ 最小值为 故当时取得最大值,当时取得最小值 ‎25、解:(Ⅰ)由,得 ‎∴,于是 ‎(Ⅱ)由 0<<<,得 又∵,∴‎ 由得:‎ 所以 ‎26、 解:方案一:①需要测量的数据有:A ‎ 点到M,N点的俯角;B点到M,‎ N的俯角;A,B的距离 d (如图所示) . ……….3分 ‎ ②第一步:计算AM . 由正弦定理 ;‎ ‎ 第二步:计算AN . 由正弦定理 ;‎ ‎ 第三步:计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二:①需要测量的数据有:‎ ‎ A点到M,N点的俯角,;B点到M,N点的府角,;A,B的距离 d (如图所示).‎ ‎ ②第一步:计算BM . 由正弦定理 ;‎ ‎   第二步:计算BN . 由正弦定理 ; ‎ ‎ 第三步:计算MN . 由余弦定理 ‎27、在△ABC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,        ……5分 在△ABC中,‎ 即AB=‎ 因此,BD=‎ 故B,D的距离约为0.33km。 ‎ ‎28、解法一(Ⅰ)依题意,有,,又,。‎ 当 是,‎ ‎ 又 ‎(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°,MP=5,‎ 设∠PMN=,则0°<<60°‎ 由正弦定理得 ‎,‎ 故 ‎0°<<60°,当=30°时,折线段赛道MNP最长 亦即,将∠PMN设计为30°时,折线段道MNP最长 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,‎ 由余弦定理得∠MNP=‎ 即 故 从而,即 当且仅当时,折线段道MNP最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,还可以设计为:①;②;③点N在线段MP的垂直平分线上等 ‎29、解:在中,.‎ 由正弦定理得.‎ 所以.‎ 北 甲 乙 在中,.‎ ‎30、解法一:如图,连结,由已知,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ 是等边三角形,‎ ‎,‎ 由已知,,‎ ‎,‎ 在中,由余弦定理,‎ ‎.‎ ‎.‎ 因此,乙船的速度的大小为(海里/小时).‎ 答:乙船每小时航行海里.‎ 解法二:如图,连结,由已知,,,‎ 北 乙 甲 ‎,‎ ‎.‎ 在中,由余弦定理,‎ ‎.‎ ‎.‎ 由正弦定理 ‎,‎ ‎,即,‎ ‎.‎ 在中,由已知,由余弦定理,‎ ‎.‎ ‎,‎ 乙船的速度的大小为海里/小时.‎ 答:乙船每小时航行海里.‎
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