高考一轮数学复习x12离散型随机变量的期望与方差理同步练习名师解析

高考一轮数学复习x12离散型随机变量的期望与方差理同步练习名师解析

选修 第1章 第2节 知能训练·提升 考点一：求离散型随机变量的期望 ‎1．如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2、3、4、3、2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息总量为ξ.‎ ‎(1)写出最大信息总量ξ的分布列；‎ ‎(2)求最大信息总量ξ的数学期望．‎ 解：(1)由已知ξ的取值为7、8、9、10.‎ ‎∵P(ξ＝7)＝＝，‎ P(ξ＝8)＝＝，‎ P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎(2)E(ξ)＝×7＋×8＋×9＋×10＝＝8.4.‎ ‎2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.‎ ‎(1)求3人都没有投进的概率；‎ ‎(2)用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.‎ 解：(1)记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A，‎ 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.‎ ‎∴P(A)＝P(··)＝P()·P()·P()‎ ‎＝[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]‎ ‎＝(1－)(1－)(1－)＝，‎ ‎∴3人都没有投进的概率为.‎ ‎(2)解法一：随机变量ξ的可能值有0,1,2,3.则Eξ＝np＝3×＝.‎ 解法二：ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 考点二：求离散型随机变量的方差 ‎3．某IT 公司对其网络服务器开放的3个外网络端口的安全进行监控，以便在发现黑客入侵及时跟踪锁定．今分析得知在今后某段时间段内，这3个网络端口各自将受到黑客入侵的概率均为0.1，在今后该时间段内，‎ ‎(1)恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？‎ ‎(2)求被入侵的网络端口个数ξ的概率分布及ξ的数学期望与方差．‎ 解：(1)设一个网络端口被入侵的事件为A，则P(A)＝0.1，P()＝0.9，‎ ‎∵各个网络端口被入侵的概率均为0.1且相互独立，故网络端口被入侵的事件相当于独立重复试验．‎ ‎∴恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率为P3(2)＝C×0.12×0.9＝0.027.‎ ‎(2)依题意得ξ的(3,0.1)，其分布列为：‎ Ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎∴Eξ＝3×0.1＝0.3，Dξ＝3×0.1×0.9＝0.27.‎ ‎4．(2010·黄冈质量检测)某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核．考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用．设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为、、，且各轮考核通过与否相互独立．‎ ‎(1)求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；‎ ‎(2)设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ，求ξ的数学期望和方差．‎ 解：(1)记“该大学毕业生通过笔试”为事件A，‎ ‎“该大学毕业生通过面试”为事件B，‎ ‎“该大学毕业生通过试用”为事件C.‎ 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.‎ 那么该大学生未进入第三轮考核的概率是 P＝P(＋A·)＝P()＋P(A)P()＝1－＋×(1－)＝.‎ ‎(2)ξ的可能取值为1,2,3.‎ P(ξ＝1)＝P()＝1－P(A)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A·)＝P(A)(1－P(B))＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A·B)＝P(A)P(B)＝，‎ 或P(ξ＝3)＝P(A·B·＋A·B·C)＝.‎ ξ的数学期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.‎ ξ的方差Dξ＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.‎ 考点三：期望与方差性质的应用 ‎5．(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2，…，8)，求Eξ和E(3ξ＋2)；‎ ‎(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2，…，n)，求Eξ和Dξ.‎ 解：(1)Eξ＝1×＋2×＋…＋8×＝…＝4.5，‎ E(3ξ＋2)＝3Eξ＋2＝3×4.5＋2＝15.5；‎ ‎(2)Eξ＝(1＋2＋…＋n)＝，‎ Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝[12＋22＋…＋n2]－()2＝(n2－1)‎ ‎6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资，提出了三种方案：‎ 第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为.‎ 第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.‎ 第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.‎ 针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．‎ 解：若按方案一执行，设收益ξ万元，则其分布列为 ξ ‎4‎ ‎－2‎ P ‎∴Eξ＝4×＋(－2)×＝1万元．‎ 若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：‎ η ‎2‎ ‎0‎ ‎－1‎ P Eη＝2×＋0×＋(－1)×＝1万元．‎ 若按方案三执行，收益y＝10×4%×(1－5%)＝0.38万元．‎ 由Eξ＝Eη＞y.‎ Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝16×＋4×－12＝9.‎ Dη＝Eη2－(Eη)2＝4×()＋0×＋1×－1＝.‎ 由上知Dξ＞Dη.这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．所以，建议李师傅家选择方案二投资较为合理．‎ ‎7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序加工结果都为A级时，产品为一等品，其余为二等品．‎ 陕西育才专修学院 ww.sxyczxxy.com 陕西育才专修学院 吘莒咪 ‎(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；‎ 表1‎ 工序 效率 产品 一工序 第二工序 甲 ‎0.8‎ ‎0.85‎ 乙 ‎0.75‎ ‎0.8‎ ‎(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη：‎ 表2‎ 等级 利润 产品 一等 二等 甲 ‎5(万元)‎ ‎2.5(万元)‎ 乙 ‎2.5(万元)‎ ‎1.5(万元)‎ ‎(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表3所示，该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)条件下，x，y为何值时，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？(解答时须给出图示)‎ 表3‎ 项目 用量 产品 工人(名)‎ 资金(万元)‎ 甲 ‎8‎ ‎5‎ 乙 ‎2‎ ‎10‎ 解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68.P乙＝0.75×0.8＝0.6.‎ ‎(2)随机变量ξ，η的分布列是 ξ ‎5‎ ‎2.5‎ P ‎0.68‎ ‎0.32‎ ‎　‎ η ‎2.5‎ ‎1.5‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，‎ Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.‎ ‎(3)由题设知 目标函数为 z＝xEξ＋yEξ＝4.2x＋2.1y.‎ 作出可行域(如图)：‎ 作直线l：4.2x＋2.1y＝0.‎ 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M且与原点距离最大，此时z＝4.2x＋2.1y有最大值．‎ 解方程组 得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4时，z取最大值，z的最大值为25.2.‎ ‎8．设排球队A与B进行比赛，若有一队胜四场则比赛结束(不出现平局)．通常，若两队技术水平相差悬殊，则比赛需要的场数较少；若两队技术水平相当，则比赛需要场数较多．试用你学过的概率统计知识解释这一现象．‎ 解：设在每场比赛中，A胜B的概率为p，B胜A的概率为q＝1－p(0≤p≤1)，进行n场比赛，可看作是进行n次独立重复试验，其中，A胜Bk场的概率为Cpkqn－k.‎ 设比赛结束时，比赛场数为随机变量ξ，∵比赛至少要进行4场，∴ξ≥4.‎ 又如果比赛进行了7场，两队中总有一队要胜4场，比赛结束，∴ξ≤7，即ξ的取值集合为{4,5,6,7}．‎ ‎“ξ＝k”表示比赛k场即决出胜负，即A在第k场取胜，在前k－1场中又胜了3场，或者B在第k场取胜，在前k－1场中又胜了3场，∴P(ξ＝k)＝Cp4qk－4＋Cq4pk－4(k＝4,5,6,7).‎ ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ p p4＋q4‎ ‎4pq(p3＋q3)‎ ‎10p2q2(p2＋q2)‎ ‎20p3q3(p＋q)‎ Eξ＝4(p4＋q4)＋20pq(p3＋q3)＋60p2q2(p2＋q2)＋140p3q3(p＋q)，又p＋q＝1，∴p2＋q2＝1－2pq，p3＋q3＝1－3pq，p4＋q4＝1－4pq＋2p2q2，∴Eξ＝20p3q3＋8p2q2＋4pq＋4.‎ 设t＝pq＝p(1－p)＝－(p－)2,0≤t≤.‎ 当t接近于0时，说明双方水平相差悬殊，当t接近于时，说明双方水平相当．‎ 令Eξ＝f(t)＝20t3＋t2＋4t＋4(t∈[0，])，则f′(t)＝60t2＋16t＋4＞0(t∈[0，])，∴f(t)在[0，]上是增函数．‎ 故当双方水平差距逐渐缩小时，比赛的平均场数逐渐增多．特别地，当某队占绝对优势即t＝0时，Eξ＝4，平均只需比赛4场；当两队水平一样时，即t＝，Eξ≈5.813，平均需要比赛6场.‎ 高考链接 ‎1.(2009·湖南)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．‎ ‎(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ 解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.‎ ‎(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P＝3！P(A1B‎2C3) ＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.‎ ‎(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B(3，)，且ξ＝3－η，‎ 所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C()3＝，‎ P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C()2()＝，‎ P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C()()2＝，‎ P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C()3＝.‎ 故ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ 解法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.‎ 由已知，D1，D2，D3相互独立，且 P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝.‎ 所以ξ～B(3，)，即P(ξ＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.‎ 故ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的数学期望Eξ＝3×＝2.‎ ‎2．(2009·湖北)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列和数学期望．‎ 解：依题意，η可取5,6,7,8,9,10,11，‎ 则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝，P(η＝7)＝，P(η＝8)＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝，P(η＝11)＝.‎ ‎∴η的分布列为 η ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ P Eη＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝8.‎ ‎3．(2009·全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．‎ ‎(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎(3)记ξ表示抽取的3名工人中女工人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ 解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．‎ ‎(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝＝.‎ ‎(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.‎ Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.‎ B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．‎ Ai与B独立，i＝0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝P(A0·)＝P(A0)·P()＝·＝，‎ P(ξ＝1)＝P(A0·B＋A1·)＝P(A0)·P(B)＋P(A1)·P()＝·＋·＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A2B)＝P(A2)·P(B)＝·＝，‎ P(ξ＝2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)]＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.‎ ‎1.某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件 、2件次品，而质检部门每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．‎ ‎(1)求第一天产品通过检查的概率；‎ ‎(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分；通过1天、2天分别得1分、2分．求该车间这两天的所得分ξ的数学期望．‎ 解：(1)∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，‎ ‎∴第一天通过检查的概率为P1＝＝.‎ ‎(2)第二天通过检查的概率为P2＝＝.‎ 两天的所得分ξ的可取值分别为0,1,2.‎ ‎∵P(ξ＝0)＝×＝，‎ P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝.‎ ‎∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝ ‎2．高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：‎ ‎①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；‎ ‎②代表队中每名对员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；‎ ‎③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为.‎ ‎(1)根据比赛规则 ，高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？‎ ‎(2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少？‎ ‎(3)设高三(1)班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．‎ 解析：(1)参加单打的队员有A种方法，参加双打的队员有C处方法．‎ 所以，高三(1)班出场阵容的共有A·C＝12(种)．‎ ‎(2)高三(1)班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．所以，连胜两盘的概率为×＋××＝.‎ ‎(3)ξ的取值可能为0,1,2，‎ P(ξ＝0)＝×＝.‎ P(ξ＝1)＝××＋××＝.‎ P(ξ＝2)＝×＋××＋××＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.‎