高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

高三数学一轮复习专讲专练——双曲线 一、要点精讲 ‎1、双曲线的定义与几何性质：‎ 定义 ‎1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹 ‎2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹 标准方程 ‎=1‎ ‎=1‎ 图 形 性质 范围 或，‎ ‎，或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 渐近线 顶点 坐标 ‎，，‎ ‎，，‎ 焦点 ‎，‎ ‎，‎ 轴 实轴的长为虚轴的长为 离心率 ‎，其中 准线 准线方程是 准线方程是 ‎2、双曲线的形状与的关系：因为双曲线的斜率，所以越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。‎ ‎3、共渐近线的双曲线系方程：与=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为，若，则双曲线的焦点在轴上；若，则双曲线的焦点在轴上。‎ 二、高考链接 ‎1、（2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、‎ ‎2．（2013年湖北）已知,则双曲线:与:的（　　）‎ A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等 ‎3．（2013课标）已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（　　）‎ A．B．C．D．‎ ‎4．（2013湖南）设F1、F2是双曲线C, (a>0，b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，‎ 且∠PF‎1F2=30°，则C的离心率为___________.‎ ‎5.（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。‎ ‎6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为______．‎ 解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝＝，所以m＝2.‎ 三、典例精讲 考点一：双曲线的定义 ‎1、(2011四川)双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．‎ 解：双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由定义知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.‎ ‎2、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．‎ 解：双曲线的右焦点(4,0)，点M(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.‎ ‎3．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，‎ 则|PM|－|PN|的最大值为__________．‎ 解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－＝1的两焦点．‎ 当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝‎2a＋3＝5.‎ ‎4.（09辽宁）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则 的最小值为。‎ 解：注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0)，于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝‎2a＝4‎ 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.‎ ‎5．(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2=‎ A.B.C.D. 解：依题意得a＝b＝，∴c＝2.∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，则|PF1|＝‎2m.‎ 又|PF1|－|PF2|＝2＝m.∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.‎ 又|F‎1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.‎ ‎6、中，A、B、C所对三边为，，求满足时，顶点A的轨迹，并画出图形。‎ 考点二：求解双曲线方程 ‎7、求适合下列条件的双曲线的标准方程 ‎⑴虚轴长为12，离心率为；⑵顶点间距离为6，渐近线方程为 ‎⑶与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；‎ ‎⑷与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.‎ ‎8．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于.求双曲线S的方程；‎ 解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．‎ ‎∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝.∴双曲线S的方程可化为x2－2y2＝a2，‎ ‎∵直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于，右焦点为，‎ ‎∴＝，解方程得a＝.∴双曲线S的方程为x2－2y2＝2.‎ 考点二：双曲线的几何性质 ‎9、设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．‎ A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1‎ 解: 由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.‎ 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.‎ ‎10、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．‎ 解：∵双曲线的渐近线为y＝x，∴＝，①∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．∴c＝4.②‎ ‎∴由①②可知a2＝4，b2＝12.∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎11．(2012福建)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()‎ A.B．4C．3 D．5‎ 解：y2＝12x的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b2＝9，b2＝5，‎ 双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y＝x的距离d＝＝.‎ ‎12.（08全国）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．(2012湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()‎ A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1‎ 解：设焦距为‎2c，则得c＝5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝±x上，得a＝2b.结合c＝5，得4b2＋b2＝25，‎ 解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线方程为－＝1.‎ ‎14．(2012课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()‎ A.B．2C．4 D．8‎ 解：设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x＝－4，代入双曲线的方程 得16－y2＝a2，因为|AB|＝4，所以16－(2)2＝a2，即a2＝4，所以‎2a＝4，所以选C.‎ ‎15．(2011浙江)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()‎ A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝2‎ 解：依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由解得x＝±，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所以＝，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝，故选C.‎ 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要掌握以下内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，‎ ‎16、 (2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．‎ A.B.C.D. 解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－，渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴－·＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝.又e＞1，∴e＝.‎ ‎17．（2013重庆）设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．B．C．D．‎ 解：设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤3，‎ <1＋≤4，即有<≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以

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