辽宁高考数学理科卷带详解

辽宁高考数学理科卷带详解

‎2009年全国统一考试（辽宁卷）理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分）. ‎ ‎1.已知集合,则 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.‎ ‎2.已知复数，那么= ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.‎ ‎【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】.‎ ‎3.平面向量与的夹角为，， 则 ( )‎ A. B. C. 4 D. 12‎ ‎【测量目标】平面向量的数量积运算.‎ ‎【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由已知, ∴.‎ ‎4. 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.‎ ‎【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】圆心在上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ ‎5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( )‎ A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 ‎【测量目标】排列组合.‎ ‎【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】直接法：一男两女,有＝5×6＝30种,两男一女,有＝10×4＝40种,共计70种.‎ 间接法：任意选取＝84种,其中都是男医生有＝10种,都是女医生有＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.‎ ‎6.设等比数列的前项和为，若,则 = ( ) ‎ A. 2 B. C. D.3‎ ‎【测量目标】等比数列的前项和，等比数列的性质.‎ ‎【考查方式】给出等比数列的前项和的比的形式求解其值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设公比为 ,则.‎ 于是.‎ ‎7.曲线在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】函数的导数，切线方程.‎ ‎【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】,当时切线斜率为.‎ ‎8.已知函数的图象如图所示，，则= ( ) ‎ 第8题图 ‎ A. B. C. D. w.w.w.k ‎【测量目标】函数的图像与性质.‎ ‎【考查方式】给出函数的图像，运用其性质求解未知数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由图象可得最小正周期为于是,注意到与关于对称所以.‎ ‎9.已知偶函数在区间单调增加，则满足的 取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.‎ ‎【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由于是偶函数,故∴得,再根据的单调性得解得.‎ ‎10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，， ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 ( ) ‎ ‎ ‎ ‎ 第10题图 ‎ A. B. ‎ C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D.‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】月总收入为S,因此时归入S,判断框内填支出T为负数,因此月盈利.‎ ‎11.正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥 P－GAC体积之比为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】锥的体积.‎ ‎【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积.‎ 在底面正六边形ABCDEF中而故DH＝2BH 于是 ‎ 第11题图 ‎ ‎12.若满足, 满足, ( )‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎【测量目标】对数函数、指数函数的性质.‎ ‎【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由题意 ①‎ ‎ ②（步骤1）‎ 所以即（步骤2）‎ 令,代入上式得 与②式比较得 于是（步骤3）‎ ‎,故选C.（步骤4）‎ ‎13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分 层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命 的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 ‎980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h.‎ ‎【测量目标】分层抽样.‎ ‎【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】1013‎ ‎【试题解析】.‎ ‎14.等差数列的前项和为，且则 .‎ ‎【测量目标】数列的通项公式与前项和的关系.‎ ‎【考查方式】已知数列的通项与其前项和之间的关系求解数列的未知项.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】∵∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵故.‎ ‎15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为）.则该几何体的体积为 .‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】三视图，求几何体的体积 ‎【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】4‎ ‎【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,‎ 体积等于×2×4×3＝4.‎ ‎16.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的 最小值为 .‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】9‎ ‎【试题解析】注意到点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为,‎ 于是由双曲线性质而 两式相加得,当且仅当三点共线时等号成立.‎ ‎17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为， km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414， 2.44）‎ 第17题图 ‎【测量目标】正弦定理的实际应用.‎ ‎【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】在中，.（步骤1）所以 又，（步骤2）故是底边AD的中垂线，所以,（步骤3）在中，即（步骤4）因此，.故B，D的距离约为0.33km. （步骤5）‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 .‎ ‎（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；‎ ‎（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.‎ ‎【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG（步骤1）因为平面ABCD⊥平面DCED，‎ 所以MG⊥平面DCEF，可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角. （步骤2）因为MN，所以为MN与平面DCEF所成角的正弦值.（步骤3） ‎ 解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤1）‎ 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得（步骤2）‎ 又为平面DCEF的法向量，可得·‎ 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为（步骤3）‎ 第18题(1)图 ‎ ‎(2)假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.‎ 又AB//CD，所以AB//平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN.又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ‎ ‎19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.‎ ‎（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（2）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求 ‎ ‎【测量目标】数学期望，分布列.‎ ‎【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）依题意X的分列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（2）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第部分”，.‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第部分”,‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，（步骤1）‎ ‎,（步骤2）‎ 所求的概率为 ‎=‎ ‎= . （步骤3） ‎ ‎20.（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为.‎ （1） 求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.‎ ‎【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(1)由题意，c=1,可设椭圆方程为，（步骤1）解得，（舍去）所以椭圆方程为. （步骤2） ‎ ‎(2)设直线AE方程为：，代入得 ‎（步骤3）‎ 设,,因为点在椭圆上，所以 ‎,（步骤4） 又直线AF的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以代，可得（步骤5）‎ 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为. （步骤6） ‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有.‎ ‎【测量目标】函数的单调性.‎ ‎【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(1)的定义域为.‎ ‎（步骤1）‎ ‎（i）若即,则故在单调增加. （步骤2）‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;（步骤3）‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加. （步骤4）‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. （步骤5）‎ ‎(2)考虑函数 （步骤6）‎ 则（步骤7）‎ 由于,故，即在(4, +∞)单调增加，从而当时有 ‎，（步骤8）即，故，当时，有.（步骤9）‎ ‎22.（本小题满分10分）已知中，AB=AC, D是外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E.‎ ‎(1)求证：AD的延长线平分CDE；‎ ‎(2)若BAC=，中BC边上的高为2+， 求外接圆的面积.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 第22题图 ‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(1)如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC （步骤1） 又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, （步骤2）对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,‎ 即AD的延长线平分∠CDE. （步骤3）‎ 第22题图 ‎ ‎(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.连接OC, OA由题意∠OAC=∠OCA=, ∠ACB=,∴∠OCH=.（步骤4）‎ 设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4.（步骤5）‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以O为极点，‎ x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点.‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.‎ ‎【测量目标】坐标系与参数方程.‎ ‎【考查方式】建立坐标系求解参数方程.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）由得（步骤1）‎ 从而C的直角坐标方程为即（步骤2）‎ 时，所以时，所以（步骤3）‎ ‎（2）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为（步骤4）‎ 所以P点的直角坐标为,则点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为（步骤5）‎ ‎24.（本小题满分10分）设函数.‎ ‎(1)若解不等式；‎ ‎(2)如果,,求 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎【测量目标】不等式.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式求解不等式.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(1)当时，.‎ 由得（步骤1）‎ 当时，不等式化为即（步骤2）‎ 当时，联立不等式组解得其解集为，综上得的解集为 ‎.（步骤3）‎ ‎(2)若，不满足题设条件.‎ 若,的最小值为（步骤4）‎ 若的最小值为（步骤5）‎ 所以的充要条件是，从而的取值范围为.（步骤6）‎