高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题立体几何教师版

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题立体几何教师版

立体几何 一、高考预测 立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．‎ ‎2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.‎ ‎3。直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.‎ ‎4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.‎ 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量与所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.‎ ‎7。长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为，对角线长为，则.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为，则；‎ ‎（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为，则.‎ ‎10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.‎ ‎11。特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.‎ ‎12。对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.‎ ‎【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用 ‎2.（1）正方体ABCD—A1 B‎1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B‎1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）‎ ‎（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 (答案：D) ‎ ‎（2）在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 答案：五边形。‎ ‎【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式（其中是直线与平面所成的角）易知，（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所成的角为，L与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在；当时，这样的直线只有一条；当时，这样的直线有两条；当时这样的直线有3条；当时，这样的直线有四条 ‎2.如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？‎ A、一条 B二条 C三条 D四条 (答案：C)‎ ‎【易错点4】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法1、在三棱柱中，若，则所成角的大小为（ ）A、 B、 C、 D、‎ ‎【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。‎ 解析：如图分别为中点， 连结，设 则AD为在平面上的射影。又而垂直。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之 ‎【易错点5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆 ‎1、如图，在北纬的纬线圈上有B两点，它们分别在东经与东经 的经度上，设地球的半径为R，求B两点的球面距离。‎ 解析：设北纬圈的圆心为，地球中心为O，则 连结，则。故A、B两点间的球面距离为。‎ ‎【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：‎ 图（1）：经度——P点的经度，也是的度数。图（2）：纬度——P点的纬度，也是的度数 ‎（III）由II知，平面，是在平面内的射影.是的中点，若点是的重心，则、、三点共线，直线在平面内的射影为直线. ，即.反之，当时，三棱锥为正三棱锥，在平面内的射影为的重心.‎ 方法二:平面,‎ 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系(如图)，设则,,.设, 则 ‎(I) D为PC的中点，＝，又,＝- 平面.‎ ‎【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论 ‎【易错点7】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错 ‎1如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，‎ AD=，侧面PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角为。‎ 求四棱锥P—ABCD的体积。‎ 解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则。作平面ABCD，‎ 垂足为O，连结OE。‎ 根据三垂线定理的逆定理得，所以为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知条件可，所以，四棱锥P—ABCD的体积。【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求 ‎2、 如图，直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. ‎ 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ ‎【易错点9】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等 ‎1. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AA1＝A‎1C1＝a，E为BB1的中点，‎ 若截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC与底面A1B‎1C1所成锐二面角度数．‎ ‎　解法1 ∵截面A1EC∩侧面AC1＝A‎1C．连结AC1，在正三棱ABC－A1B‎1C1中，‎ ‎　　∵截面A1EC⊥侧面AC1，‎ 就是所求二面角的度数．易得∠A‎1AC1＝45°，故所求二面角的度数是45°．‎ ‎　解法2 如图3所示，延长CE与C1B1交于点F，连结AF，则截面A1EC∩面A1B‎1C＝AF．∵EB1⊥面A1B‎1C1，∴过B1作B‎1G⊥A‎1F交A‎1F于点G，连接EG，由三垂线定理知∠EGB1就是所求二面角的平面角．‎ 即所求二面角的度数为45°．【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角 易错点10 三视图 一个棱锥的三视图如图，‎ 则该棱锥的全面积（单位：）为( )‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 解析:棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，‎ 由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：‎ ‎×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选.A。‎ ‎2、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由∠ADB＝90°，可得BD⊥AD．‎ 因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．‎ 又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，‎ 所以BD⊥PA．………（4分）‎ ‎（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝a，则 A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，a，0），P（0，0，a），‎ ‎＝（－a，a，0），＝（－a，0，0），‎ ‎＝（－a，0，a），＝（－a，a，－a）．‎ 设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z），‎ 所以可得 设y＝，则x＝z＝3，可得n＝（3，，3）．同理，可求得平面PBC的一个法向量为m＝（0，－1，－）．所以cos＜m，n＞＝＝－．由图形知，二面角A-PB-C为钝角，‎ 因此二面角A-PB-C的余弦值是－．………（12分）‎ 第18题图 ‎3、如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且．（1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：‎ ‎【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．‎ 平面平面. 平面 平面13分平面 14分 ‎4、已知四棱柱中，,‎ ‎，，.‎ ‎ ⑴求证：； ⑵求二面角的正弦值;‎ ‎（3）求四面体的体积.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.‎ ‎ (3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥 的体积，记为，而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为.‎ 则由于， ，所以所求四面体的体积为 ‎. (12分)‎ ‎5、如图，在四面体ABCD中，二面角的平面角为，且点、分别是、的中点.‎ ‎(Ⅰ)求作平面，使，且∥平面∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎6、已知四棱锥中，⊥平面，四边形是直角梯形，‎ ‎，∥，，，为重心，‎ 为的中点，在上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：⊥.‎ ‎【解析】(Ⅰ)连接交于点因为，‎ 所以,又平面，平面所以平面…… 6分 ‎.‎ ‎8、三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，P为OC中点，PQ垂直BC于Q，OA=OB=OC=2，过PQ作一个截面，交AB、AO于R、S，使PQRS为梯形。‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求五面体ACPQRS的体积。‎ ‎【解析】（1）因PQRS为梯形，只能是∥，于是得到 ‎∥　　∥‎ 因P为OC中点，所以 因PQ垂直BC，所以 而 所以 即：‎ ‎（2）连OA，OR，PR 所以五面体ACPQRS的体积 ‎9、如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点 ‎(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE ‎(II )求点A1到平面BDD1的距离；ww w.xk b1.com ‎(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.‎ 解法二：（I）同解法一．…3分 ‎（II）由面ABCD⊥面ADD‎1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ A1‎ D1‎ A D E B C F y x z 由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．设面BDD1的一个法向量为n1，则 即 ∴．‎ ‎∴ 点A1到面BDD1的距离．…8分 ‎（III）由（II）及题意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．设面D1EC的一个法向量为，则 即可得．又易知面DEC的一个法向量是(0，0，1)，设D1-EC-D的大小为θ，则，得．即D1-EC-D 的大小为 点是的三等分点 ‎4分 ‎6分 又且,面. 7分 ‎ （Ⅱ）设平面的法向量为， ‎ 是平面的法向量， 10分 二面角的余弦值. 12分 ‎11、如图所示四棱锥中,底面,四边形中,,,,,为的中 点,为中点.（Ⅰ）求证:平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证:平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为底面,面,‎ ‎ 所以,又因为直角梯形面中,,‎ ‎ 所以,即,又,所以平面；………4分 ‎ （Ⅱ）解法一:如图,连接,交于,取中点,‎ ‎ 连接,则在中,,‎ ‎ 又平面,平面,所以平面,‎ ‎ 因为,所以,则,‎ ‎ 又平面,平面,所以平面,‎ ‎ 又,所以平面平面,‎ ‎ 因为平面,所以平面.………10分 ‎ 解法二:如图,连接,交于,取中点,‎ ‎ 连接交于,连接,则,‎ ‎ 在中,,则, 在底面中,‎ ‎,所以,‎ ‎ 所以,故,又平面,平面,所以平面.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,平面,所以为直线与平面所成的角,‎ ‎ 在中,, 所以,‎ ‎ 所以直线与平面所成的角的正弦值为.………14分 ‎12、如右图所示，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；‎ ‎（2）求证：PA⊥平面CDM；‎ ‎（3）求二面角D—MC—B的余弦值．‎ ‎（3）由（2）知平面，则为二面角的平面角，‎ 在中，易得，,‎ 故，所求二面角的余弦值为. ……12分 解法二：(1)同解法一. ……4分 ‎(2)由底面为菱形且，，‎ 有． 建立空间直角坐标系如图，则,‎ ‎,,,．由为 中点，∴．‎ ‎∴,,．‎ ‎∴‎ ‎∴，． ∴平面．……8分 ‎(3) ,.令平面的法向量，‎ 则，从而； ……①, ，从而． ……②‎ 由①、②，取，则． ∴可取．‎ 由(2)知平面的法向量可取，‎ ‎∴．所求二面角的余弦值为.…12分 ‎【解析】（Ⅰ）, ………………………………2分 又，………………………………4分 面． ……5分 A O B C D ‎14、如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．‎ ‎（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；‎ ‎（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．‎ ‎【解析】法一：‎ ‎（1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，‎ 则A (0，0，2)，B (0，2，0)， ‎ D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．‎ 设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量， ‎ 由　得 取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．因为平面AOB的一个法向量为 ‎＝(1，0，0)，由平面COD⊥平面AOB得＝0，所以cos＝0，即＝7分 ‎（2）设二面角C－OD－B的大小为，由（1）得当＝时， cos＝0；‎ 当∈(,]时，tan≤－，cos= ＝＝－，‎ ‎ 故－≤cos＜0．综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]…15分 法二：（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，‎ 因为平面AOB⊥平面COD，‎ 平面AOB∩平面COD＝OD，‎ 所以BE⊥平面COD，‎ 故BE⊥CO．‎ 又因为OC⊥AO，‎ 所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．又因为OB⊥OA，OC⊥OA，‎ 所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，即＝． ……7分 ‎ （2）解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；当∈(,]时，‎ 过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，‎ 则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，‎ 在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，‎ 所以cos∠CGF ＝＝－．因为∈(,]，tan≤－，故0＜cos∠CGF ‎＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为 [－，0]15分 ‎15、如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.‎ ‎（1）求证：BE⊥平面ACD；‎ ‎（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.‎ ‎16、如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．（Ⅰ）求直线与平面所成的角；‎ ‎（Ⅱ）设点在棱上，，若∥平面， 求的值．‎ ‎【解析】‎ 本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分14分.‎ 法二如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）设，则，‎ ‎ ∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　 .由条件知A（1，0，0），‎ B（1，，0），.‎ 设，则 ‎ 即直线为.　…6分 ‎（Ⅱ）C（－3，，0），记P（0，0，a），则 ‎，，，，‎ 而，所以，‎ ‎=‎ 设为平面PAB的法向量，则，即，即.‎ ‎ 进而得， 由,得∴‎ ‎　………14分 ‎（3）假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连结AM，则AM==，‎ 由（2）知PAAM ∴SPAM=‎ ‎∴VD—PAM===……………………11分 ‎∵∴ …12分 ‎∵VD—PAM =∴= 解得：‎ ‎∵∴在BC上存在一点M，当使得点D到平面PAM的距离为2。.…14分 ‎（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）,= （1,1,0）, ‎ ‎ = （0 , , ）--9分设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则 ‎ ，即：， 令y = 1 , 则= （- 1,1, - 2 ） ------10分 假设侧棱PC上存在一点F, 且＝ ， ‎ ‎（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则×＝ 0．‎ 又因为：＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,‎ ‎×＝+ 1- - 2= 0 , = ,所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．---13分 设，平面的法向量为，‎ 依，‎ 且，.　‎ 可得取，得-（4分）‎ 当是棱的中点时，.‎ 则及　得 故平面.-（2分）‎ ‎（2）因平面的法向量为， --（2分）‎ 又二面角的大小是，故即　解得.故在棱上存在点，使得二面角的大小是.此时.（4分）‎ ‎（Ⅲ）平面,,又 为正方形,‎ 所以有,所以四棱锥有外接球,且半径为…12分