导数结合洛必达法则巧解高考压轴题51012

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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题51012

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 ‎ 第一部分:历届导数高考压轴题 ‎ ‎(全国2理)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.‎ ‎(全国1理)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)设,讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围.‎ ‎(全国1理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:的导数;‎ ‎(Ⅱ)若对所有都有,求的取值范围.‎ ‎(全国2理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ ‎(辽宁理)设函数.‎ ‎⑴求的单调区间和极值;‎ ‎⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.‎ ‎(新课标理)设函数=.‎ ‎(Ⅰ)若,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时≥0,求a的取值范围.‎ ‎(新课标文)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在时有极值,求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ ‎(全国大纲理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.‎ ‎(新课标理)已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求、的值;‎ ‎(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围.‎ 例题:若不等式对于恒成立,求的取值范围 第二部分:泰勒展开式 ‎ ‎1.其中;‎ ‎2. 其中;‎ ‎3.,其中;‎ ‎4. ,其中;‎ 第三部分:洛必达法则及其解法 洛必达法则:设函数、满足:‎ ‎(1);‎ ‎(2)在内,和都存在,且;‎ ‎(3) (可为实数,也可以是).‎ 则.‎ ‎1.(新课标理)已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求、的值;‎ ‎(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围.‎ 常规解法 ‎(Ⅰ)略解得,.‎ ‎(Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法 由(Ⅰ)知,所以.‎ 考虑函数,则.‎ ‎(i)当时,由知,当时,.因为,‎ 所以当时,,可得;当时,,可得 ‎,从而当且时,,即;‎ ‎(ii)当时,由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾.‎ ‎(iii)当时, ,而,故当时,,可得,与题设矛盾.综上可得,的取值范围为.‎ 注:分三种情况讨论:①;②;③不易想到.尤其是②时,许多考生都停留在此层面,举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同,这是高中阶段公认的难点,即便通过训练也很难提升.‎ 洛必达法则解法 当,且时,,即,‎ 也即,记,,且 则,‎ 记,则,‎ 从而在上单调递增,且,因此当时,,当时,;当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎ ‎,‎ 即当时,,即当,且时,.‎ 因为恒成立,所以.综上所述,当,且时,成立,的取值范围为.‎ 注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导,研究其单调性、极值.此时遇到了“当时,函数值没有意义”这一问题,很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用,再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.‎ ‎2.(新课标理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 ‎(Ⅱ)当时,,即.‎ ‎①当时,;②当时,等价于.‎ 记 ,则. ‎ 记 ,则,当时,,所以在上单调递增,且,所以在上单调递增,且,因此当时,,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有,‎ 即当时,,所以当时,所以,因此.‎ 综上所述,当且时,成立.‎ 例题:若不等式对于恒成立,求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 当时,原不等式等价于.‎ 记,则.‎ 记,则.‎ 因为,‎ ‎,所以在上单调递减,且,‎ 所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,‎ 且,故,因此在上单调递减.‎ 由洛必达法则有 ‎,‎ 即当时,,即有.‎ 故时,不等式对于恒成立.‎ 通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:‎ ① 可以分离变量;‎ ‎②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;‎ ‎③出现“”型式子.‎ ‎(海南宁夏文)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在时有极值,求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)略 ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 当时,,即.‎ ‎①当时,;‎ ‎②当时,等价于,也即.‎ 记,,则.‎ 记,,则,因此在上单调递增,且,所以,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎,‎ 即当时,‎ 所以,即有.‎ 综上所述,当,时,成立.‎ ‎(全国大纲理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)略 ‎ ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设,此时.‎ ‎①当时,若,则,不成立;‎ ‎②当时,当时,,即;‎ 若,则;‎ 若,则等价于,即.‎ 记,则.‎ 记,则,.‎ 因此,在上单调递增,且,所以,‎ 即在上单调递增,且,所以.‎ 因此,所以在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎,即当时,‎ ‎,即有,所以.综上所述,的取值范围是.‎ ‎(全国2理)设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ). ‎ 当()时,,即;‎ 当()时,,即.‎ 因此在每一个区间()是增函数,‎ 在每一个区间()是减函数. ‎ 解:(Ⅰ)略 ‎ ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 若,则;‎ 若,则等价于,即 则.‎ 记,‎ 因此,当时,,在上单调递减,且,故,所以在上单调递减,‎ 而.‎ 另一方面,当时,,因此.‎
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