高考试题——北京高考数学文科试题及解析

高考试题——北京高考数学文科试题及解析

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．在中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 ‎ ‎ D．个 第二部分（选择题 共110分）‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 。‎ ‎10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。 ‎ ‎11．若等比数列满足，，则公比 ；前项和 。‎ ‎12．设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。‎ ‎13．函数的值域为 。‎ ‎14．向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 。‎ 三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数 ‎（1）求的最小正周期及最大值。‎ ‎（2）若，且，求的值。‎ ‎16．（本小题共13分）‎ ‎ 下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择‎3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。‎ ‎（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。‎ ‎（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。‎ ‎（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：‎ ‎（1）底面 ‎（2）平面 ‎（3）平面平面 ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。‎ ‎（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 直线（）：相交于，两点，是坐标原点 ‎（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。‎ ‎（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 给定数列，，，。对，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，。‎ ‎（1）设数列为，，，，写出，，的值。‎ ‎（2）设，，，（）是公比大于的等比数列，且，证明，，，是等比数列。‎ ‎（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明，，，是等差数列。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B ‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．， 10． 11．，‎ ‎12． 13． 14．‎ ‎1．‎ 答案：B 解析：集合A中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A，B的公共元素为－1,0，故选B.‎ ‎2．‎ 答案：D 解析：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D.‎ ‎3．‎ 答案：C 解析：A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C.‎ ‎4．‎ 答案：A 解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.‎ ‎5．‎ 答案：B 解析：根据正弦定理，，则sin B＝sin A＝，故选B.‎ ‎6． ‎ 答案：C 解析：i＝0时，向下运行，将赋值给S，i增加1变成1，经判断执行否，然后将赋值给S，i增加1变成2，经判断执行是，然后输出，故选C.‎ ‎7．‎ 答案：C 解析：该双曲线离心率，由已知，故m＞1，故选C.‎ ‎8．‎ 答案：B 解析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，A(a,0,0)，A1(a,0，a)，P，‎ 则||＝，‎ ‎||＝，‎ ‎||＝，‎ ‎||＝||＝，‎ ‎||＝||＝，‎ ‎||＝，‎ 故共有4个不同取值，故选B.‎ 第二部分(非选择题　共110分)‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．答案：2　x＝－1‎ 解析：根据抛物线定义，∴p＝2，又准线方程为x＝＝－1，故填2，x＝－1.‎ ‎10． ‎ 答案：3‎ 解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V＝×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.‎ ‎11．答案：2　2n＋1－2‎ 解析：根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，‎ ‎∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ ‎12．答案：‎ 解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：‎ 根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2x－y＝0的距离.‎ ‎13．答案：(－∞，2)‎ 解析：当x≥1时，，即，当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜2x＜2；故f(x)的值域为(－∞，2)．‎ ‎14．(2013北京，文14)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________．‎ 答案：3‎ 解析：＝λ＋μ，＝(2,1)，＝(1,2)．‎ 设P(x，y)，则＝(x－1，y＋1)．‎ ‎∴得 ‎∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，‎ 可得如图．‎ 可得A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)，‎ ‎|A1B1|＝，‎ 两直线距离，‎ ‎∴S＝|A1B1|·d＝3.‎ 三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，最小正周期 当（），即（）时 ‎ ‎ ‎（2）因为 ‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 所以，即 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（1）因为要停留2天，所以应该在‎3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，‎ ‎ 所以概率为 ‎（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，，，，，，‎ 其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，‎ 所以概率为 ‎（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 证明：（1）因为，平面底面且平面底面 ‎ 所以底面 ‎（2）因为和分别是和的中点，所以，‎ 而平面，平面，所以平面 ‎（3）因为底面， 平面 ‎ 所以，即 因为，，所以 而平面，平面，且 所以平面 因为，所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，而平面，平面 所以平面，同理平面，‎ 而平面，平面且 ‎ 所以平面平面， 所以平面 ‎ 又因为平面 所以平面平面 ‎18．（本小题共13分）‎ 解：（1）‎ 因为曲线在点处的切线为 所以，即，解得 ‎（2）因为 ‎ 所以当时，单调递增 ‎ 当时，单调递减 ‎ 所以当时，取得最小值，‎ ‎ 所以的取值范围是 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（1）线段的垂直平分线为，‎ ‎ 因为四边形为菱形，‎ 所以直线与椭圆的交点即为，两点 对椭圆，令得 所以 ‎（2）方法一：当点不是的顶点时，‎ ‎ 联立方程得 设，，‎ 则，，‎ ‎ ‎ ‎ 若四边形为菱形，则，即 所以 即 因为点不是的顶点，所以，‎ 所以 即，即 所以 此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，‎ 所以四边形不可能为菱形 方法二：‎ 因为四边形为菱形，所以，‎ 设（）‎ 则，两点为圆与椭圆的交点 联立方程得 所以，两点的横坐标相等或互为相反数。‎ 因为点在上 若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。‎ 若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。‎ 所以四边形不可能为菱形。‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（1），，‎ ‎（2）因为，，，（）是公比大于的等比数列，且 ‎ 所以 所以当时，‎ 所以当时，‎ 所以，，，是等比数列。‎ ‎（3）若，，，是公差大于的等差数列，则 ‎ ，，，应是递增数列，证明如下：‎ ‎ 设是第一个使得的项，则 ‎ ，，所以，与已知矛盾。‎ ‎ 所以，，，，是递增数列 再证明数列中最小项，否则（），则 显然，否则，与矛盾 因而，此时考虑，矛盾 因此是数列中最小项 综上，（）‎ 于是，也即，，，是等差数列