全国卷高考选做题——坐标系与参数方程专题

全国卷高考选做题——坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程选做专题（‎2015-10-14‎）‎ 命题：靳建芳 ‎1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线（为参数），曲线．‎ ‎（Ⅰ）将曲线化成普通方程，将曲线化成参数方程；‎ ‎（Ⅱ）判断曲线和曲线的位置关系．‎ ‎2．曲线的参数方程为，是曲线上的动点，且是线段的中点，点的轨迹为曲线，直线l的极坐标方程为，直线l与曲线交于，两点。‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长。‎ ‎3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系中,曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设与相交于两点，求的长．‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为。‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。‎ ‎5．在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ ‎6．在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎7．已知直线：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；‎ ‎（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎8.在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点．以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线过点，且与曲线交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求点到两点的距离之积．‎ ‎9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线相交于两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为，斜率为的直线交轴与点．‎ ‎（1）求的直角坐标方程，的参数方程；‎ ‎（2）直线与曲线交于、两点，求的值．‎ ‎11．在直角坐标系中，圆C的参数方程为参数）.以为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线极坐标方程是射线与圆C的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎12．选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程;‎ ‎(2)已知为椭圆上一点,求到直线的距离的最小值.‎ 坐标系与参数方程选做专题（‎2015-10-14‎）（参考答案）‎ ‎1．（Ⅰ） ，（为参数） ；（Ⅱ）相交.‎ 解析：（Ⅰ）∵，∴，代入得，，即．∴曲线的普通方程是．‎ 将，，代入曲线的方程 ‎，得，‎ 即 ．设，得曲线的参数方程：（为参数）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线是经过点的直线，曲线是以为圆心半径为的圆．∵，∴点在曲线内，∴曲线和曲线相交．‎ ‎2．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解：（Ⅰ）设，则由条件知。因为点在曲线上，所以，即 。化为普通方程为，即为曲线的普通方程。‎ ‎（Ⅱ）直线l的方程为，化为直角坐标方程为。由（Ⅰ）知曲线是圆心为，半径为4的圆，因为圆的圆心到直线l 的距离，所以。‎ ‎3．（1）．（2）．‎ 解析：（1）将展开得：①‎ ‎（2）将的参数方程化为普通方程得：②。所以直线经过抛物线的焦点。由①，‎ ‎②联立消去得：。 ．‎ ‎4．（Ⅰ），;（Ⅱ）.‎ 解析：解：（Ⅰ）， ‎ ‎（Ⅱ）设，则点到直线的距离 ‎ 当且仅当，即 ‎（）时，Q点到直线l距离的最小值为。‎ ‎5．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得，从而有 所以（Ⅱ）设，又，‎ 则，故当时，取得最小值，‎ 此时点的坐标为.‎ ‎6．（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎7．（1）；（2）18.‎ 解析：（1）∵，∴，∴，故它的直角坐标方程为；‎ ‎（2）直线：（t为参数），普通方程为，在直线上，过点M作圆的切线，切点为T，则，由切割线定理，可得．‎ ‎8．（1），；（2）2．‎ 解析：（Ⅰ），，由得．‎ 所以即为曲线的直角坐标方程； 点的直角坐标为，‎ 直线的倾斜角为，故直线的参数方程为（为参数）即 ‎（为参数）‎ ‎（Ⅱ）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的方程得 ‎，即，，‎ 设对应的参数分别为，则又直线经过点，故由的几何意义得点到两点的距离之积 ‎9．（Ⅰ）曲线：;：（Ⅱ）的值为.‎ 解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程，‎ 可化为，即；‎ 直线的参数方程为（为参数），消去参数，化为普通方程是；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，‎ 得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则；∵，∴，‎ 即；∴，解得：，或（舍去）；‎ ‎∴的值为．‎ ‎10． 解析：（1）由得，即即 的参数方程为（为参数）；（2）将代入得解得，，则 ‎11．（Ⅰ）（Ⅱ）2‎ 解析：（Ⅰ）圆C的普通方程为又 所以圆C的极坐标方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，则由解得 ‎ 设，则由解得 ‎ 所以 ‎ ‎12．（1）;（2）解析：‎ ‎(1)直线l的极坐标方程,则, 即,所以直线l的直角坐标方程为; ‎ ‎(2)P为椭圆上一点,设,其中, ‎ 则P到直线l的距离,‎ 所以当时,的最小值为