高考数学新题型
高考数学新题型选编（共70个题）
1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;
（Ⅱ）证明:；
（Ⅲ）定理:若 均为正数,则有 成立
(其中．请你构造一个函数，证明：
当均为正数时，．
解：（Ⅰ）令得…2分
当时， 故在上递减．
当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分
（Ⅱ）由，有 即
故 ．………………………………………5分
（Ⅲ）证明:要证：
只要证：
设…………………7分
则
令得…………………………………………………….8分
当时，
故上递减，类似地可证递增
所以的最小值为………………10分
而
=
==
由定理知: 故
故
即: .…………………………..14分
2、用类比推理的方法填表
等差数列中
等比数列中
答案：
3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于
A．n B．n+1 C．n -1 D． 答案：D
4、若为的各位数字之和，如：，，则;记____
答案：5
5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。
a
a
a
a
a
a
（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；
（3）求点D到面SEC的距离。
（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分
证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分
（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF//EA,GF=EA,AF//EG
而由SA面ABCD得SACD，
又ADCD，CD面SAD，
又SA=AD,F是中点，
面SCD,EG面SCD,面SCD
所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分
(3)作DHSC于H，
面SEC面SCD,DH面SEC,
DH之长即为点D到面SEC的距离，12分
在RtSCD中，
答：点D到面SEC的距离为………………………14分
6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：
（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。
解（1）
（2）先用累乖法得
得
7、在△ABC中，，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
①△ABC周长为10
：
②△ABC面积为10
：
③△ABC中，∠A=90°
：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号、、填入）
答案：
8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
x
1
2
3
g（x）
1
3
2
填写下列的表格,其三个数依次为
x
1
2
3
g (f（x）)
A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1
答案：D
9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；
当时，。
则函数的最大值等于（ C ）
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1 C. 6 D. 12
10、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则_____________；使成立的x的取值范围是_____________ 答案：2
11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”
这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I）首先选取如下函数：
，，
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
与其反函数的交点坐标为（－1，－1）
与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）
与其反函数的交点坐标为（），（－1，0），（0，－1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明。
现在，请你完成（II）和（III）。
解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上 2分
（III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有
若a＝b时，交点显然在直线上
若a
2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W10)上变化，求x2+2y的最大值；
（3）由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。
解：（1） （4分）
（2）根据得 （5分）
（7分）
（10分）
（2）不能 （11分）
如再加条件就可使之间建立函数关系 （12分）
解析式 （14分）
（不唯一，也可其它答案）
32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。
33、已知，记，（其中），例如：
。设，且满足，则有序数组
是 。
34、（12′=9′+3′）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式 对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。
（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。
解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，
又不等式对任意恒成立，∴，即，
∴ 。
（2）一个解集为的不等式可以是 。
（文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，
又不等式对任意恒成立，∴，即，
∴ 。
（2）一个解集为的不等式可以是 。
35、（理）已知为正常数。
（1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。
（2）在上恒成立，即在上恒成立，
∵，∴，即，
又∵
∴，即时，
，
又∵，∴。 综上，得 。
易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。
故猜测：时，单调递减；时，单调递增。
（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。
如对，，此时，
即 。
（文）已知函数，，
（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（Ⅰ）当时，，
若，，则在上单调递减，不符题意。
故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。
（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足，即且，
此时，时，有最大值。
又取最小值时，，依题意，有，则，
∵且，∴，得，此时或。
∴满足条件的实数对是。
（Ⅲ）当实数对是时，
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对，，
此时，，
故。
36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an}的“凯森和”，
如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列
1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”= 991 。
37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知，，求证，
证明：构造函数
因为对一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,
从而得，
（1）若，，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
解：（1）若，，
求证： (4¢)
（2）证明：构造函数 (6¢)
(9¢)
(11¢)
因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,
从而证得：. (14¢)
38、已知两个向量， .
（1）若t=1且，求实数x的值；
（2）对tÎR写出函数具备的性质.
解：（1）由已知得 ……2分
……4分
解得，或 ……6分
（2） ……8分
具备的性质：
①偶函数；
②当即时，取得最小值（写出值域为也可）；
③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 ……14分
说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分
39、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n–1 。(不必给出证明)
40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有= 。
41、已知
（1）, 求的最小值
（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。
（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质
由 可抽象出
由 可抽象出
(1) …………3’
等号当x=2时成立， …………………………4’
(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’
由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’
(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’
42、已知函数的最大值为正实数，集合
，集合。
（1）求和；
（2）定义与的差集：且。
设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自
的概率，写出与的二组值，使，。
（3）若函数中，， 是（2）中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。
答案：（1）∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分
∴，。…………………………6分
（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。…………………………………………………9分
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分
（3）由（2）知…………………………13分
………………………………………………18分
43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。
44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）
顺次为一次函数图象上的点，
点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）
顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），
对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以
Bn为顶点的等腰三角形。
⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。
解：（1）(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 (4¢)
（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn= (10¢)
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=,
若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)
45、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。
⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。
解：（1）证：,∵a＞1，∴＞0，
∴原不等式成立 (6¢)
（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽
为a＞0且a¹1 (9¢)
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)
证：左式-右式= (14¢)
若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；
若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立.(16¢)
46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文 密文 密文 明文，
现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，
再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密
后得到明文为 14 。
47、规定a△b=，a, b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 (1,+¥ )
48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列 满足，则
（结论用数学式子表示）.
和
49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
[解]（1）. …… 4分
（2）， …… 8分
，
当时，. …… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等. …… 18分
50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：
① ；② 。则的数值为_____3004_____。
51、已知命题：平面上一矩形的对角线与边和
所成角分别为，则。若把它推广到空
间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________
_____________________________________________________。
长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。
52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
(3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺
序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
(1)解：由等方差数列的定义可知：………………5分
(2)证法一：∵是等差数列，设公差为，则
又是等方差数列，∴………………………………7分
∴
即， …………………………………10分
∴，即是常数列．…………………………………………………11分
证法二：∵是等差数列，设公差为，则……
又是等方差数列，设公方差为，则………………7分
代入得，……
同理有，……
两式相减得：即，…………………………………10分
∴，即是常数列．………………………………………………11分
证法三：（接证法二、）
由、得出：若，则是常数列 …………………8分
若， 则 是常数, ∴，矛盾…………10分
∴ 是常数列． …………………11分
(3)依题意， ，
，
∴，或， ……………………………13分
即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，
故，这种密码共种．…………………………………………………16分
53、已知函数，当点在的图像上移动时，
点在函数的图像上移动．
（1） 若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；
（2） 求函数的解析式；
（3） 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为
时有最小值而没有最大值．
解：（1）当点坐标为（），点的坐标为，…………2分
∵点也在的图像上，∴，即．……5分
（根据函数的单调性求得，请相应给分）
（2）设在的图像上
则，即 ……………………………………8分
而在的图像上，∴
代入得，为所求．…………………………………11分
（3）；或 等． …………………15分
如：当时，
∵在单调递减， ∴ 故 ，
即有最小值，但没有最大值．………………………18分
（其他答案请相应给分）
（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是
轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．
54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：
① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，
Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，
Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。
试求：
（1）的表达式；（2）的表达式；
（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？
若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。
解：（1）
（2）
（3） ，∵，
∴输出结果不可能为。
55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。
对自然数，规定为的阶差分数列，其中。
（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。
（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。
∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
（2），即，即，∴
∵，∴，，，猜想：
证明：ⅰ）当时，；
ⅱ）假设时，
时， 结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，
（3），即
∵
∴存在等差数列，，使得对一切自然
都成立。
56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．
（1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？
解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有
要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，
等价于真数的最小值大于0
即
（2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的
| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1
≤1
|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1
a≤(x – 2a)2 – a2≤
对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立
设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3]
且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边
当时
f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的
当< a < 1时，f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．
57、已知是定义在－∞，＋∞上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则＋＞＋”成立的一个充分条件：
．
已知是定义在－∞，＋∞上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则＋＞＋”成立的一个充分条件：_______.
答案： 函数在－∞，＋∞上单调递增（或＝＋（＞0）等） ．
58、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：
＝＋＋┅
＋＋┅
写出你对此问题的研究结论： ＝1 （用数学符号表示）．
59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P时，
∈P，则运算 可能是（ D ）
（A）加法； （B）除法； （C）减法； （D）乘法．
60、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．
（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；
（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：
＝，＝4．请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当，，┅，为实数时，
函数＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．
解：（1）图略；
（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，
当∈－3，1）时，是减函数，
当∈1，＋∞）时，是增函数，
∴＝，＝4．
（3）当＋＋┅＋＜0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＝0时，＝，，
＝，．
61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。
答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又= ≥，等于当且仅当，且4x＋9y=60，即x=6且y
=4时成立，故应分别有6、4。
62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若（其中、分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy中，若，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为 .
63、定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中ai为数列中的第i项.
①若，则T4= ；105；
②若 .
64、如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求二面角B1-MN-B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面B1MN；
（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件.
符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一.
答案：
65、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 90 万只．
月份
养鸡场（个数）
9
20
10
50
11
100
66、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：
（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；
（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.
写出直角三棱锥相应性质（至少一条）： .
答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；
（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；
（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
67、定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有
成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 。
68、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：
对于给定的定义域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，…，xn= f(xn-1)，…
在上述构造过程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止.
① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求a的取值范围；
② 如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求a实数的值.
②
①
解：（1）令 则
①×②，并整理，得 y=，
∴y=f(x) =， （x≠a）. ………………………………4分
（2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f(x) =x有解，
亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.
将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a.
由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，
即实数a的取值范围是. …………………………9分
②根据题意，=a在R中无解，
亦即当x≠a时，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解，
∴ a= -1即为所求a的值. ……………………………………14分
69、已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,
…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N*)，则a=_________ nn ______．
70、已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。
（1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的与的值。
解：（1）猜想：或；--------------------------------4分
由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分
由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
（2）由为奇函数，有
所以，又，
解得。-----------------------------------------------------------------------------10分
当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。----------------------------------------------------------------------------12分
当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故 ------------------------------------------------------------14分
所以所有符合题意的与的值为：
或--------------------------------------16分
