高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案

圆锥曲线 ‎1.圆锥曲线的两定义：‎ 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 如方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：‎ ‎（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。‎ ‎ 若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）‎ ‎（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。‎ 如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）‎ ‎（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。‎ ‎3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：‎ ‎（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。‎ 如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）‎ ‎（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；‎ ‎（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。‎ 提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。‎ ‎4.圆锥曲线的几何性质：‎ ‎（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。‎ 如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；‎ ‎（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）‎ ‎（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。‎ ‎（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。‎ 如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；‎ ‎5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内 ‎6．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ ‎（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。‎ ‎（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；‎ ‎（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。‎ 提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。‎ ‎7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。 如 （1）短轴长为，‎ 练习：点P是双曲线上上一点，为双曲线的两个焦点，且=24，求的周长。‎ ‎8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 9、 弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。‎ ‎10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。‎ 在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；‎ 弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：‎ 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。‎ 提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ ‎11．了解下列结论 ‎（1）双曲线的渐近线方程为；‎ ‎（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。‎ ‎（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； ‎ ‎（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；‎ ‎（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②‎ ‎（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 ‎12.圆锥曲线中线段的最值问题：‎ 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)‎ 与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________‎ ‎ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。‎ 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。‎ （2） B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，）（2）（）‎ ‎1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。‎ ‎ (1) 求双曲线C2的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为（II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 ‎2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ ‎(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。‎ 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎3设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ ‎4、过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ‎5、已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )0‎ ‎6、已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )‎ ‎7、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ ‎8、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.‎ ‎9、椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .‎ ‎10、过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ ‎ ‎【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: ‎ 双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,‎ 由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.‎ ‎∴·＝‎ ‎【解析】设抛物线的准线为直线 ‎ 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则,‎ ‎ 点的横坐标为, 故点的坐标为 ‎, 故选D