2017高考真题理科数学全国卷3

2017高考真题理科数学全国卷3

理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学 ‎ 理科数学 考试时间：____分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为(          )‎ A. 3‎ B. 2‎ C. 1‎ D. 0‎ ‎2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=(    )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 2‎ ‎3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是(    )‎ A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．的展开式中的系数为(         )‎ A. ‎ B. ‎ C. 40‎ D. 80‎ ‎5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是(       )‎ A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在(,)单调递减 ‎7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(        )‎ A. 5‎ B. 4‎ C. 3‎ D. 2‎ ‎8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(      )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. 3‎ D. 8‎ ‎10．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11．已知函数有唯一零点，则a=(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 1‎ ‎12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为(         )‎ A. 3‎ B. 2‎ C. ‎ D. 2‎ 填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ 简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎17．（12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎18．（12分）‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃‎ ‎）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎19．（12分）‎ 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎20．（12分）‎ 已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求a的值；‎ ‎（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.‎ ‎22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修44：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修45：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ 答案 单选题 ‎ ‎1.  B 2.  C 3.  A 4.  C 5.  B 6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  A 11.  C 12.  A ‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ ‎14.  ‎ ‎15.  ‎ ‎16.  ‎ ‎②③.‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎(1)    (2) ‎ ‎18.  ‎ ‎(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.‎ ‎19.  ‎ ‎(1)证明略；(2) .‎ ‎20.  ‎ ‎(1)证明略；(2)见解析 ‎21.  ‎ ‎(1)a=1；   (2) 3‎ ‎22.  ‎ ‎（1）；（2）‎ ‎23.  ‎ ‎（1）；（2）‎ 解析 单选题 ‎ ‎1.  ‎ 由题意可得：圆与直线相交于两点，，则中 有2个元素.故选B.‎ ‎2.  ‎ 由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.‎ ‎3.  ‎ 由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.‎ ‎4.  ‎ 由展开式的通项公式可得：当时，展开式的系数为，‎ 当时，展开式的系数为，‎ 则的系数为80－40＝40，故选C.‎ ‎5.  ‎ 双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，‎ 椭圆中： ，椭圆，双曲线的焦点为 ，‎ 据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，‎ 则双曲线 的方程为 .‎ ‎6.  ‎ 当 时， ，函数在该区间内不单调.故选D.‎ ‎7.  ‎ 阅读程序框图，程序运行如下：‎ 首先初始化数值：，然后进入循环体：‎ 此时应满足，执行循环语句：；‎ 此时应满足，执行循环语句：；‎ 此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.‎ 故选D.‎ ‎8.  ‎ 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，‎ 结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎9.  ‎ 设等差数列的公差为，且，，，又，所以，，故选A.‎ ‎10.  ‎ 以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.‎ ‎11.  ‎ 函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ 若，函数与函数没有交点，‎ 当，时，此时函数与函数有一个交点，‎ 即，解得，故选C.‎ ‎12.  ‎ 如图，建立平面直角坐标系.‎ 设,‎ 易得圆的半径，即圆C的方程是，‎ ‎，若满足，‎ 则 ，，所以，‎ 设，即，点在圆上，‎ 所以圆心到直线的距离，即，解得，‎ 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.‎ ‎14.  ‎ 由题意可得： ，解得： ，则 ‎15.  ‎ 由题意：  ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且 ，‎ 可知x的取值范围是： .‎ ‎16.  ‎ 由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎（1）由已知得   ，所以 .‎ 在 △ABC中，由余弦定理得  ，即 .‎ 解得： (舍去)， .‎ ‎（2）有题设可得 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 又△ABC的面积为 ‎18.  ‎ ‎（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎，，.‎ 因此的分布列为 ‎（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.‎ 当时，‎ 若最高气温不低于25，则；‎ 若最高气温位于区间，则；‎ 若最高气温低于20，则；‎ 因此.‎ 当时，‎ 若最高气温不低于20，则；‎ 若最高气温低于20，则；‎ 因此.‎ 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.‎ ‎19.  ‎ ‎（1）由题设可得，，从而.‎ 又是直角三角形，所以.‎ 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.‎ 又由于是正三角形，故.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中，.‎ 又，所以，‎ 故.‎ 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.‎ 故.‎ 设是平面DAE的法向量，则即 可取.‎ 设是平面AEC的法向量，则同理可取.‎ 则.‎ 所以二面角D-AE-C的余弦值为.‎ ‎20.  ‎ ‎（1）设 由可得 又=4‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 所以OA⊥OB，‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 故圆心的坐标为，圆的半径.‎ 由于圆过点，因此，故，‎ 即，‎ 由（1）可得.‎ 所以，解得或.‎ 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.‎ 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.‎ ‎21.  ‎ ‎（1）的定义域为.‎ ‎①若，因为，所以不满足题意；‎ ‎②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.‎ 由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.‎ ‎（2）由（1）知当时，.‎ 令得.从而 ‎.‎ 故.‎ 而，所以的最小值为.‎ ‎22.  ‎ ‎（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得，消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎（2）C的极坐标方程为.‎ 联立得.‎ 故，从而.‎ 代入得，所以交点M的极径为.‎ ‎23.  ‎ ‎（1）‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得 当时，由解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）由得，而 且当时，.‎ 故m的取值范围为