高考数学专题复习解析几何精选例题

高考数学专题复习解析几何精选例题

高考数学专题复习 解析几何 精选例题 第一课时 高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。‎ 例一．（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）‎ 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，‎ 点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：‎ ‎ （1）动点P的轨迹方程；‎ ‎ ‎ 解答：．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. ‎ ‎（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，，所以 于是 ‎…………6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③‎ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为………………8分 解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 ‎ ④ ⑤‎ ‎④—⑤得，所以 当时，有 ⑥‎ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧‎ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）‎ 也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 ‎………………8分 例二（2004.湖南理）（本小题满分12分）‎ 如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.‎ ‎（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；‎ 解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ‎ ‎ ①‎ 设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.‎ 所以 ‎ 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，‎ 得 又点Q是点P关于原点的对称点，‎ 故点Q的坐标是（0，－m），从而.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 例三．(2004. 天津卷)（本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率； ‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算:‎ ‎ (I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率 ‎ ‎（课后训练）‎ ‎1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；：答案：（1）‎ ‎ 2．（2004. 福建理）（本小题满分12分）‎ 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交 于另一点Q.‎ ‎（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；‎ 答案：. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法 解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.‎ 由y=x2， ①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切= x1，‎ ‎∴直线l的斜率kl=－=-，∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，‎ 方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M是PQ的中点 ‎ x0==-，‎ ‎∴‎ ‎ y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ 方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，‎ 则x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ ‎3．（2004.湖北理）（本小题满分12分）直线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；‎ 答案：．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.‎ 解：（Ⅰ）将直线 ‎……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 ‎5. （04.‎ ‎ 上海春季高考）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1) 求点的坐标；若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；‎ 答案： (1) 直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为。‎ ‎（2）由得，设，则，得。‎ 第二课时 ‎ 例一椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．‎ （1） 求椭圆C的离心率； ‎ 答案：设, 对 由余弦定理, 得 ‎，解出 ‎ ‎ 例二知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上（１）求此椭圆的离心率；‎ 答案：设A、B两点的坐标分别为 得 ‎, 根据韦达定理，得 ‎ ‎ ∴线段AB的中点坐标为（）. 由已知得 ‎ 故椭圆的离心率为 . ‎ ‎ 例三线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.‎ （1） 求证：; ‎ ‎ 讲解: （1）易求得抛物线的焦点. 若l⊥x轴，则l的方程为.若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .‎ ‎（课后练习）‎ ‎04 北京·文史第17题，本小题满分14分） 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（），B（）均在抛物线上。 ‎ ‎（I）写出该抛物线的方程及其准线方程 ‎ ‎（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率 ‎22．<2004年天津高考·理工第22题，文史第22题[只做第(1)和(2)问]，本小题满分14分> 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 ‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；‎