2014年版高考数学专题目04导数的应用考二轮难点解析
专题04 导数的应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练
2014高考对本内容的考查主要有：
(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；
(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；
(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.
(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；
(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
1．导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈R)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
(2)导数的四则运算
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③′＝(v(x)≠0)．
3．函数的单调性与导数
如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数
y＝x＋sin x .
4．函数的导数与极值
对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．
5．闭区间上函数的最值
在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．
6．函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；
(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件.
考点1、导数的几何意义
【例1】 已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P(2,0)处的切线方程是________．
【方法技巧】函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．
【变式探究】 (1)若曲线f(x)＝ ，g(x)＝xa在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为________．
(2)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0,0)，则过点P的曲线S的切线方程为________．
考点2、利用导数研究函数的单调性
【例2】 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1，a∈R.
(1)当a＝－1时，求函数的单调区间；
(2)当0≤a<时，讨论f(x)的单调性．
【规律方法】讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
【变式探究】设函数f(x)＝x ln x.
(1)求函数f(x)在点M(e，f(e))处的切线方程；
(2)设F(x)＝ax2－(a＋2)x＋f′(x)(a>0)，讨论函数F(x)的单调性．
①当0
时，
考点3、利用导数研究函数的极值与最值
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
(1)解 当x∈[1，e]时，f′(x)＝x＋>0，
所以f(x)在区间[1，e]上为增函数．
所以当x＝1时，f(x)取得最小值；
当x＝e时，f(x)取得最大值e2＋1.
(2)证明 设h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－ln x，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝2x2－x－＝＝.当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以h(x)>h(1)＝>0.所以对于x∈(1，＋∞)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方．
【规律方法】(1)函数在闭区间上一定存在最值；在开区间上不一定存在最值，若存在，一定是极值．
(2)构造新函数，转化成研究其单调性，是解决这类题目的常用方法．
【变式探究】 (2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
【解析】解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
难点一 利用导数解决函数的实际问题
【例1】 时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y＝＋4(x－6)2，其中20；
(3)求证：···…·<(n ≥2，n∈N*)．
【解析】(1)解 根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
难点三 函数与导数的综合问题
【例3】 (2013·山东卷)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值．
(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．
②当x∈(0,1)时，ln x<0，则g(x)＝－ln x－.
【规律方法】(1)本题第(1)问，利用了函数单调的充分条件：“若f′(x)>0，则f(x)单调递增，若f′(x)<0，则f(x)
单调递减”；求出函数的单调区间，而对于函数的最值需谨记函数在闭区间上一定存在最值，在开区间上函数不一定存在最值，若存在，一定是极值．
(2)本题第(2)问，借助转化与数形结合的思想，把方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，利用极值解决问题．
【变式探究】设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系；
(3)是否存在x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．
【解析】xf′(x)<0⇒或
当x∈时，f(x)单调递减，此时f′(x)<0.
当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)>0.
【答案】∪
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．
5．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f (x)在[－1,0]上的最小值为________．
6．设P为曲线C：f(x)＝x2－x＋1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
8．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
9．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
12.现有一张长为80 cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD
的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)
(1)求出x 与 y 的关系式；
(2求该铁皮盒体积V的最大值．
13．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21.
因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，
f(e－2－1)<－32＋11＝－210.
