高考数学考点讲解考点11定积分的概念与微积分基本定理新课标解析版

高考数学考点讲解考点11定积分的概念与微积分基本定理新课标解析版

考点11 定积分的概念与微积分基本定理 ‎【高考再现】‎ 热点一 定积分的基本计算 ‎1.(2012年高考江西卷理科11)计算定积分___________‎ ‎【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：‎ ‎(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；‎ ‎(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；‎ ‎(3)分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；‎ ‎(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；‎ ‎(5)计算所求定积分的值．‎ ‎2.求定积分的常用技巧：‎ ‎(1)求被积函数，要先化简，再求积分．‎ ‎(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．‎ ‎(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．‎ 热点二 微积分基本定理的应用 ‎3.(2012年高考山东卷理科15)设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。‎ ‎【答案】 ‎【解析】，解得.‎ ‎4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为.‎ ‎【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 ‎(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．‎ ‎【考点剖析】‎ 二．命题方向 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形式出现.‎ 三．规律总结 一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．‎ 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.（教材习题改编）(ex＋2x)dx等于(　　)‎ A．1 B．e－‎1 C．eD．e＋1‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】 因为F(x)＝ex＋x2，且F′(x)＝ex＋2x，则 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e＋1)－(e0＋0)＝e，故选C.‎ ‎3.【经典习题】_______________．‎ ‎【答案】C ‎【解析】：等于圆在第一象限的面积，则.‎ ‎4.已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－‎1f(x)dx＝‎2f(a)成立，则a＝________.‎ ‎【名校模拟】‎ 一．基础扎实 ‎1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 ‎ A．1 B．－ C． D． ‎【答案】 C ‎【解析】，所以，所以切线方程为，所以，故选C ‎2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分)的面积为 A.B.‎ C.D.‎ ‎3．(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线围成的封闭图形的面积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由微积分基本定理，可知由曲线围成的封闭图形的面积为 ‎4．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)‎ 答案：A ‎ 解析：由题意得，或（舍去），故选A。‎ ‎5. (山西省2012年高考考前适应性训练理)．‎ ‎6(湖北武汉2012适应性训练理)曲线与轴及直线所围图形的面积为．‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意得知，曲线与轴及直线所围图形的面积为.‎ 二．能力拔高 ‎ ‎7.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)可看作成 （ ）‎ ‎ A．半径为3的圆的面积的二分之一 B．半径为的圆的面积的二分之一 ‎ C．半径为3的圆的面积的四分之一 D．半径为的圆的面积的四分之一 又半径为的圆的面积为，故选B。‎ ‎8.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)‎ 下列命题：‎ 函数的最小正周期是；‎ 已知向量，，，则的充要条件是；‎ 若（），则．‎ 其中所有的真命题是 ‎ A． B．C． D． ‎9. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)曲线y=与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为 ‎ A．1－ln2 B．2－2n‎2 ‎ C． ln2 D．2ln2－1‎ ‎10. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理) ‎【答案】4‎ ‎11.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)已知二项式展开式的常数项为则。‎ ‎12．(华中师大一附中2012届高考适应性考试理)曲线与坐标轴所围成的面积是________.‎ 答案：3‎ 解析：由题意得，.‎ 三．提升自我 ‎13.(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理)函数满足，其导函数的图象如下图，则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 A． B．C．2 D． ‎【答案】B ‎【解析】由导函数的图像可知，函数为二次函数，且对称轴为开口方向向上，设函数 因过点（-1,0）与（0,2），则有 则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 ‎14.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)‎ 设M，m分别是f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则由上述估值定理，估计定积分的取值范围是_____‎ ‎15.（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于.‎ ‎【原创预测】‎ ‎1.已知函数，直线和（其中 t为常数).若直线 轴与函数的图象所围成的封闭图形的面积为S，则S的最大值为 ‎(A)2(B)(C)(D)3‎ ‎2.已知是自然对数的底数，计算定积分，得．‎