高考浙江卷理科数学试题及答案

高考浙江卷理科数学试题及答案

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ‎（浙江卷）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设函数,则实数=‎ ‎ A．-4或-2 B．-4或‎2 ‎ C．-2或4 D．-2或2‎ ‎2．把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=‎ ‎ A．3-i B．3+i C．1+3i D．3‎ ‎3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ‎4．下列命题中错误的是 ‎ ‎ A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C．如果平面，平面，，那么 ‎ D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎5．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是 ‎ A．14 B．‎16 ‎ C．17 D．19‎ ‎6．若，，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若为实数，则“”是的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 ‎ A． B． C． D ‎10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ‎ A．=1且=0 B．‎ ‎ C．=2且=2 D． =2且=3‎ 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 ‎11．若函数为偶函数，则实数 = 。‎ ‎12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 。‎ ‎13．设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，‎ 若B=‎4A，则a的值是 。‎ ‎14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。‎ ‎15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若 ‎，则随机变量X的数学期望 ‎ ‎16．设为实数，若则的最大值是 ．。‎ ‎17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 ．‎ 三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c．‎ 已知且．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；‎ ‎19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小．‎ ‎20．（本题满分15分）‎ 如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2‎ ‎（Ⅰ）证明：AP⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎21．（本题满分15分）‎ 已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 ‎22．（本题满分14分）‎ ‎ 设函数 ‎ （I）若的极值点，求实数；‎ ‎ （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。‎ 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ BADDBCACBD ‎（1）设函数,则实数=‎ ‎（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎（2）把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若,则 ‎（A）3-i （B）3+i （C）1+3i （D）3‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】∵，∴，∴.‎ (3) 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项.‎ ‎（4）下列命题中错误的是 ‎（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎（C）如果平面，平面，，那么 ‎（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】因为若这条线是的交线L，则交线L在平面内，明显可得交线L在平面内，所以交线L不可能垂直于平面，平面内所有直线都垂直于平面是错误的 ‎（5）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是 ‎（A）14 （B）16 （C）17 （D）19‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】可行域如图所示 ‎ o x y ‎2x+y-7=0‎ 联立，解之得，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为，∴当过点（4，1）时，有最小值16.‎ ‎（6）若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】∵，，∴，又∵，，∴，∴＝＝＝.‎ ‎（7）若为实数，则“”是的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】当时，由两边同除可得成立；当时，两边同除以可得成立，∴“”是“或”的充会条件，反过来，由或得不到.‎ ‎（8）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【解析】由双曲线＝1知渐近线方程为，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，‎ ‎∴椭圆方程可化为＋＝，联立直线与椭圆方程消得，‎ ‎，又∵将线段AB三等分，∴，‎ 解之得.‎ ‎（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[‎ ‎（A） （B） （C） D ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由古典概型的概率公式得.‎ ‎（10）设a，b，c为实数，.记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ‎（A）=1且=0 （B）‎ ‎（C）=2且=2 （D）=2且=3‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】当时，且 ；当且时，且；当且b=a+c(例如a=‎1 c=3,b=4)时， 且.‎ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。‎ ‎11．0 12．5 13．2 14． 15． 16． 17．‎ ‎（11）若函数为偶函数，则实数 。‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】∵为偶函数，∴，‎ 即∴.‎ ‎（12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 。‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】时，＝64，＝84，；‎ 时，＝256，＝256，；‎ 时，＝256，＝625，.‎ ‎（13）设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B，若B=‎4A，则a的值是 。‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴，，又∵，‎ ‎∴，解之得，又∵，∴.‎ ‎（14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】由题意得：，∵，，∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量X的数学期望 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵ ，∴.‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（16）设为实数，若则的最大值是 .。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，∴，即，‎ ‎∴，解之得：，即.‎ ‎（17）设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点，又∵，由椭圆的对称性可得，设，，‎ 又∵， ，‎ ‎∴解之得，∴点A的坐标为.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。‎ ‎18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎ （I）解：由题设并利用正弦定理，得 解得 ‎ （II）解：由余弦定理，‎ 因为，‎ 由题设知 ‎19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。‎ ‎ （I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 ‎（II）解：因为，所以 因为，所以 当，‎ 即 所以，当 当 ‎20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ 方法一：‎ ‎ （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系O—xyz 则，‎ ‎，由此可得，所以 ‎，即 ‎（II）解：设 设平面BMC的法向量，‎ 平面APC的法向量 由 得 即 由即 得 由 解得，故AM=3。‎ 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。‎ 方法二：‎ ‎（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得 又平面ABC，得 因为，所以平面PAD，‎ 故 ‎（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，‎ 由（I）中知，得平面BMC，‎ 又平面APC，所以平面BMC平面APC。‎ 在 在，‎ 在 所以 在 又 从而PM，所以AM=PA-PM=3。‎ 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。‎ ‎21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： ‎ 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 ‎（II）解：设，‎ 则题意得，‎ 设过点P的圆C2的切线方程为，‎ 即 ①‎ 则 即，‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 将①代入 由于是此方程的根，‎ 故，所以 由，得，‎ 解得 即点P的坐标为，‎ 所以直线的方程为 ‎22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎ （I）解：求导得 因为的极值点，‎ 所以 解得经检验，符合题意，‎ 所以 ‎（II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立；‎ ‎②当时，由题意，首先有，‎ 解得，‎ 由（I）知 令 且 又内单调递增 所以函数内有唯一零点，‎ 记此零点为 从而，当时，‎ 当 当时，‎ 即内单调递增，在内单调递减，‎ 在内单调递增。‎ 所以要使恒成立，只要 成立。‎ 由，知 ‎ （3）‎ 将（3）代入（1）得 又，注意到函数内单调递增，‎ 故。‎ 再由（3）以及函数内单调递增，可得 由（2）解得，‎ 所以 综上，a的取值范围是