高考浙江卷理科数学试题及答案

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高考浙江卷理科数学试题及答案

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ‎(浙江卷)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设函数,则实数=‎ ‎ A.-4或-2 B.-4或‎2 ‎ C.-2或4 D.-2或2‎ ‎2.把复数的共轭复数记作,i为虚数单位,若=‎ ‎ A.3-i B.3+i C.1+3i D.3‎ ‎3.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ‎4.下列命题中错误的是 ‎ ‎ A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B.如果平面α不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C.如果平面,平面,,那么 ‎ D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎5.设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是 ‎ A.14 B.‎16 ‎ C.17 D.19‎ ‎6.若,,,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若为实数,则“”是的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率 ‎ A. B. C. D ‎10.设a,b,c为实数,f(x)=(x+a).记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是 ‎ A.=1且=0 B.‎ ‎ C.=2且=2 D. =2且=3‎ 非选择题部分(共100分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 ‎11.若函数为偶函数,则实数 = 。‎ ‎12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k的值是 。‎ ‎13.设二项式(x-)6(a>0)的展开式中X的系数为A,常数项为B,‎ 若B=‎4A,则a的值是 。‎ ‎14.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的 平行四边形的面积为,则α与β的夹角的取值范围是 。‎ ‎15.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙丙公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若 ‎,则随机变量X的数学期望 ‎ ‎16.设为实数,若则的最大值是 .。‎ ‎17.设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 .‎ 三、解答题;本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.(本题满分14分)在中,角所对的边分别为a,b,c.‎ 已知且.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若角为锐角,求p的取值范围;‎ ‎19.(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项为a(),设数列的前n项和为,且,,成等比数列 ‎(1)求数列的通项公式及 ‎(2)记,,当时,试比较与的大小.‎ ‎20.(本题满分15分)‎ 如图,在三棱锥中,,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2‎ ‎(Ⅰ)证明:AP⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。‎ ‎21.(本题满分15分)‎ 已知抛物线:=,圆:的圆心为点M ‎(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;‎ ‎(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂直于AB,求直线的方程 ‎22.(本题满分14分)‎ ‎ 设函数 ‎ (I)若的极值点,求实数;‎ ‎ (II)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立,注:为自然对数的底数。‎ 参考答案 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。‎ BADDBCACBD ‎(1)设函数,则实数=‎ ‎(A)-4或-2 (B)-4或2 (C)-2或4 (D)-2或2‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】当时,;‎ ‎ 当时,.‎ ‎(2)把复数的共轭复数记作,为虚数单位,若,则 ‎(A)3-i (B)3+i (C)1+3i (D)3‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】∵,∴,∴.‎ (3) 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由正视图可排除A、B选项;由俯视图可排除C选项.‎ ‎(4)下列命题中错误的是 ‎(A)如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎(B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎(C)如果平面,平面,,那么 ‎(D)如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】因为若这条线是的交线L,则交线L在平面内,明显可得交线L在平面内,所以交线L不可能垂直于平面,平面内所有直线都垂直于平面是错误的 ‎(5)设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是 ‎(A)14 (B)16 (C)17 (D)19‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】可行域如图所示 ‎ o x y ‎2x+y-7=0‎ 联立,解之得,又∵边界线为虚线取不到,且目标函数线的斜率为,∴当过点(4,1)时,有最小值16.‎ ‎(6)若,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】∵,,∴,又∵,,∴,∴===.‎ ‎(7)若为实数,则“”是的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】当时,由两边同除可得成立;当时,两边同除以可得成立,∴“”是“或”的充会条件,反过来,由或得不到.‎ ‎(8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【解析】由双曲线=1知渐近线方程为,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,‎ ‎∴椭圆方程可化为+=,联立直线与椭圆方程消得,‎ ‎,又∵将线段AB三等分,∴,‎ 解之得.‎ ‎(9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率[‎ ‎(A) (B) (C) D ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由古典概型的概率公式得.‎ ‎(10)设a,b,c为实数,.记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是 ‎(A)=1且=0 (B)‎ ‎(C)=2且=2 (D)=2且=3‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】当时,且 ;当且时,且;当且b=a+c(例如a=‎1 c=3,b=4)时, 且.‎ 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。‎ ‎11.0 12.5 13.2 14. 15. 16. 17.‎ ‎(11)若函数为偶函数,则实数 。‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】∵为偶函数,∴,‎ 即∴.‎ ‎(12)若某程序图如图所示,则该程序运行后输出的k的值是 。‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】时,=64,=84,;‎ 时,=256,=256,;‎ 时,=256,=625,.‎ ‎(13)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B,若B=‎4A,则a的值是 。‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】由题意得,‎ ‎∴,,又∵,‎ ‎∴,解之得,又∵,∴.‎ ‎(14)若平面向量α,β满足|α|≤1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角的取值范围是 。‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】由题意得:,∵,,∴,‎ 又∵,∴.‎ ‎(15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若,则随机变量X的数学期望 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵ ,∴.‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎(16)设为实数,若则的最大值是 .。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵,∴,即,‎ ‎∴,解之得:,即.‎ ‎(17)设分别为椭圆的焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点,又∵,由椭圆的对称性可得,设,,‎ 又∵, ,‎ ‎∴解之得,∴点A的坐标为.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分。‎ ‎18.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎ (I)解:由题设并利用正弦定理,得 解得 ‎ (II)解:由余弦定理,‎ 因为,‎ 由题设知 ‎19.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。满分14分。‎ ‎ (I)解:设等差数列的公差为d,由 得 因为,所以所以 ‎(II)解:因为,所以 因为,所以 当,‎ 即 所以,当 当 ‎20.本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ 方法一:‎ ‎ (I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,‎ 建立空间直角坐标系O—xyz 则,‎ ‎,由此可得,所以 ‎,即 ‎(II)解:设 设平面BMC的法向量,‎ 平面APC的法向量 由 得 即 由即 得 由 解得,故AM=3。‎ 综上所述,存在点M符合题意,AM=3。‎ 方法二:‎ ‎(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得 又平面ABC,得 因为,所以平面PAD,‎ 故 ‎(II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,‎ 由(I)中知,得平面BMC,‎ 又平面APC,所以平面BMC平面APC。‎ 在 在,‎ 在 所以 在 又 从而PM,所以AM=PA-PM=3。‎ 综上所述,存在点M符合题意,AM=3。‎ ‎21.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: ‎ 所以圆心M(0,4)到准线的距离是 ‎(II)解:设,‎ 则题意得,‎ 设过点P的圆C2的切线方程为,‎ 即 ①‎ 则 即,‎ 设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以 将①代入 由于是此方程的根,‎ 故,所以 由,得,‎ 解得 即点P的坐标为,‎ 所以直线的方程为 ‎22.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用,不等式等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎ (I)解:求导得 因为的极值点,‎ 所以 解得经检验,符合题意,‎ 所以 ‎(II)解:①当时,对于任意的实数a,恒有成立;‎ ‎②当时,由题意,首先有,‎ 解得,‎ 由(I)知 令 且 又内单调递增 所以函数内有唯一零点,‎ 记此零点为 从而,当时,‎ 当 当时,‎ 即内单调递增,在内单调递减,‎ 在内单调递增。‎ 所以要使恒成立,只要 成立。‎ 由,知 ‎ (3)‎ 将(3)代入(1)得 又,注意到函数内单调递增,‎ 故。‎ 再由(3)以及函数内单调递增,可得 由(2)解得,‎ 所以 综上,a的取值范围是
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