高考数学总复习解三角形精品题库共12章

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第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 第一部分 五年高考荟萃 ‎2009年高考题 ‎1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 ( )‎ A.2 B．4＋ C．4— D．‎ 答案 A 解析 ‎ 由可知,,所以,‎ 由正弦定理得,故选A ‎2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则 ( )‎ A． B. C. D. ‎ 答案 D 解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排 除A和B，再由.‎ ‎3.(2009全国卷Ⅱ理）已知中，， 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 D 解析 已知中，，.‎ ‎ 故选D.‎ ‎4.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，‎ 的取值范围为 . ‎ 答案  2 ‎ 解析 设由正弦定理得 由锐角得，‎ 又，故，‎ ‎5.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,.‎ 所以 ①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故 ②‎ 由①，②解得.‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 ‎ ‎6.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． ‎ ‎（I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解 （1）因为，，又由 得， ‎ ‎（2）对于，又，或，由余弦定理得 ‎， ‎ ‎7.（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． ‎ ‎（I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解（Ⅰ） ‎ 又，，而，所以，所以的面积为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 ‎8.（2009北京理） 在中，角的对边分别为，。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ ‎9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA.‎ 解 （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. ‎ ‎（2）==－, 所以, 因为C为锐角, 所以,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎.‎ ‎10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.‎ ‎（1）求.的值;‎ ‎（2）在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,‎ 求角C.‎ 解 （1）‎ ‎ ‎ 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 ‎ ‎（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,‎ 因为,所以或.‎ 当时,;当时,.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.‎ ‎10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.‎ 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。‎ 解：由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=，‎ ‎ cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,‎ ‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得 ‎ 故 ，‎ ‎ 或 （舍去），‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。‎ ‎11.（2009安徽卷理）在ABC中，, sinB=.‎ ‎（I）求sinA的值；‎ ‎ (II)设AC=，求ABC的面积.‎ 解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，‎ A B C ‎∴，又，∴‎ ‎（Ⅱ）如图，由正弦定理得 ‎∴，又 ‎∴ ‎ ‎12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在ABC中，C-A=， sinB=。‎ ‎（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。‎ ‎【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；‎ ‎（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.‎ 解（1）∵∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 又 ∴‎ ‎（2）如图，由正弦定理得∴‎ ‎∴. ‎ ‎13.（2009江西卷文）在△中，所对的边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求,，．‎ 解：（1）由 得 ‎ ‎ 则有 =‎ ‎ 得 即.‎ ‎（2） 由 推出 ；而,‎ 即得,‎ ‎ 则有 解得 ‎ ‎14.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，,.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若,求. ‎ 解：(1) 因为，即，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 得 . 所以,或(不成立).‎ 即 , 得，所以.‎ 又因为，则，或（舍去） ‎ 得 ‎(2)， ‎ ‎ 又, 即 ， ‎ 得 ‎15.（2009天津卷文）在中，‎ ‎（Ⅰ）求AB的值。‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ ‎（1）解：在 中，根据正弦定理，，于是 ‎（2）解：在 中，根据余弦定理，得 于是=，‎ 从而 ‎【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。‎ ‎16.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。‎ 解（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）由（I）知，∴ ‎ ‎ 由得 ‎，即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎17.（2009全国卷Ⅱ理）设的内角、、的对边长分别为、、，，，求 分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。‎ 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。‎ 评析：本小题考生得分易，但得满分难。‎ ‎18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ 解：在中，＝30°，＝60°－＝30°，‎ 所以CD＝AC＝0.1‎ 又＝180°－60°－60°＝60°，‎ 故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在中，， ‎ 即AB＝‎ 因此，‎ 故B、D的距离约为‎0.33km。 12分 ‎19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ‎ 在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为‎0.33km。  ‎ ‎20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。‎ 解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，‎ N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ‎ ‎②第一步：计算AM . 由正弦定理　；‎ 第二步：计算AN . 由正弦定理　；‎ 第三步：计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二：①需要测量的数据有：‎ A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.‎ ‎ ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；‎ 第二步：计算BN . 由正弦定理　； ‎ 第三步：计算MN . 由余弦定理 ‎21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。 ‎ 解（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）由（I）知，∴ ‎ 由得 ‎，即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小： ‎ ‎（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。‎ 解（1）由及正弦定理得， ‎ 是锐角三角形，‎ ‎（2）解法1：由面积公式得 由余弦定理得 ‎ 由②变形得 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 ‎ ‎23.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造，‎ 在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知， ，于A处测得水深，于B处测得水深 ，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。 ‎ 解：作交BE于N，交CF于M． ， ‎ ‎，‎ ‎．　‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎. 24.(2009湖南卷理). 在，已知 ‎，求角A，B，C的大小.‎ 解 设 由得，所以 又因此 ‎ 由得，于是 所以，，因此 ‎，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。‎ ‎25..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎ ‎(I) 求AB的值： ‎ ‎(II) 求sin的值 ‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， ‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A= ‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎26.（2009四川卷理）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若，求的值。‎ 解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又， ‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,. ‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即， ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎27.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，‎ ‎　　， .‎ （1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形； ‎ （2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .‎ 证明：（1）‎ 即，其中R是三角形ABC外接圆半径， ‎ 为等腰三角形 解 （2）由题意可知 由余弦定理可知， ‎ ‎ ‎ ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,‎ 则角B的值为 （ ）‎ A. B. C.或 D.或 答案 D ‎2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案 D ‎3.（2008陕西）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，‎ 则等于 （ ）‎ A． B．‎2 ‎ C． D．‎ 答案 D ‎4.（2007重庆）在中，，，，则 （ 　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案 Ａ ‎5.(2007山东)在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C ‎6.（2006年全卷I） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，‎ 且c=2a，则cosB= ( )‎ A． B． C． D．‎ 答案 B 二、填空题 ‎7.（2005福建）在△ABC中，∠A=90°，的值是 .‎ 答案 ‎ ‎8.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________.‎ 答案 ‎ ‎9.(2008湖北)在△中，三个角的对边边长分别为,则 的值为 .‎ 答案 ‎ ‎10.（2007北京）在中，若，，，则 .‎ 答案 ‎ ‎11.（2007湖南）在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．‎ 答案 ‎ ‎12.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.‎ ‎（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;‎ ‎（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.‎ 解 （I）如图，AB=40，AC=10，‎ 由于,所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）.‎ ‎（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 ‎ 标系，‎ 设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,‎ BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有，x1=y1= AB=40,‎ x2=ACcos,‎ y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.‎ 又点E（0，-55）到直线l的距离d=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ ‎==.‎ 从而 在中，由正弦定理得，‎ AQ=‎ 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.‎ 过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt中，PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ ‎14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高时，‎ 可以选与塔底在同一水平面内 的两个侧点与．现测得，‎ 并在点测得塔顶 的仰角为，求塔高．‎ 解 在中，．‎ 由正弦定理得．‎ 所以．‎ 在Rt△ABC中，．‎ ‎15．（2007福建）在中，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．‎ 解 （Ⅰ），‎ ‎．又，．‎ ‎（Ⅱ），边最大，即．‎ 又∵tanA＜tanB，A、B角最小，边为最小边．‎ 由且，‎ 得．由得：BC=AB·．‎ ‎16．（2007浙江）已知的周长为，且．‎ ‎（I）求边的长；‎ ‎（II）若的面积为，求角的度数．‎ 解 （I）由题意及正弦定理，得，，‎ 两式相减，得．‎ ‎（II）由的面积，得，‎ 由余弦定理，得cosC=‎ ‎=，‎ 所以．‎ ‎17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处 时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距‎20海里.当甲 船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方 向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=， A‎1A2=，∴A‎1A2=A2B2， 又∠A1A2B2=180°-120°=60° ‎∴△A1A2B2是等边三角形， ‎∴A1B2=A1A2=. 由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理， ‎=+-·A1B2·cos45° ‎=202+()2-2×20××=200. ‎∴B1B2=. 因此，乙船的速度的大小为 ‎×60=（海里/小时）. 答 乙船每小时航行海里. ‎19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求b．‎ 解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，‎ 由为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得．‎ 所以，‎ ‎20.（2007全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．‎ ‎（1）求函数的解析式和定义域；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 解：（1）的内角和，由得．‎ 应用正弦定理，知 ‎，‎ ‎．‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以，当，即时，取得最大值 第二部分 三年联考题汇编 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则 （ ） ‎ A.． B ． C． D． 或 答案 C ‎2.（2009河北区一模）在中，则（ ）‎ A．-9 B．‎0 ‎‎ C．9 D．15‎ 答案 C ‎3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知a，b，c为△ABC的三内角A，B，C的对边，向量，若，且的大小分别为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案 C 二、填空题 ‎4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为 答案 ‎ 三、解答题 ‎5.（2009宜春）已知向量，，，且、‎ ‎、分别为的三边、、所对的角。‎ （1） 求角C的大小；‎ （2） 若，，成等差数列，且，求边的长。‎ 解：（1） ‎ 对于，‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎（2）由，‎ 由正弦定理得 ‎ ‎，‎ 即 ‎ 由余弦弦定理， ‎ ‎， ‎ ‎6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 在△ABC中，设A、B、C的对 边分别为a、b、c向量 ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若的面积.‎ 解（1）‎ 又 ‎（2）‎ 为等腰三角形，‎ ‎ ‎ ‎7.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线。‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）如果，求的面积的最大值。‎ 解：（1）由向量共线有： ‎ 即， 2分 又，所以，‎ 则=，即 4分 ‎（Ⅱ）由余弦定理得则 ‎，‎ 所以当且仅当时等号成立 9分 所以。 10分 ‎8.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=．‎ ‎(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．‎ 解：(1) ∵cosB=>0，且01，∴t=1时，取最大值.‎ 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=‎ ‎5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ‎（Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若的值.‎ ‎ 解：（I）‎ 即 为等腰三角形.‎ ‎（II） 由（I）知