高考数学冲刺专题复习之——平面向量教师版

高考数学冲刺专题复习之——平面向量教师版

高考数学（文）冲刺专题复习之——平面向量 一、知识点梳理 （一）平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (与 共线的单位向量是 )． (4)平行向量（又叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ∥ ，规定零向量和 任何向量平行（共线）。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直 线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无 传递性！（因为有 )；④三点 共线 共线； (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋ c) 减法 求 a 与 b 的相反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) （1）定义： ①加法：（1）向量加法的三角形法则： ；其要求是：（Ⅰ）前一向量的终点与后一向量的起点的 重合，（Ⅱ）由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。 （2）向量加法的平行四边形法则：其要求是：（Ⅰ）把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向 量为邻边作平行四边形，（Ⅱ）向量的和为这两邻边所夹的对角线。 （3）由有向线段首尾顺次相接所围成的封闭图形结果为 。即：（Ⅰ） （三角形三边 的向量和） （Ⅱ） 。一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向 量起点指向最后一个向量终点的向量． ②减法： ，其要求是：（1）两个向量的起点为同一点，（2）由后一个向量的终点指一向前向量 (2)坐标运算：若 a=（ ）,b=（ ）则 a b=（ ）． （3）几何表示：平行四边形法则、三角形法则 AB | | AB AB ±   a b a b 0 A B C、 、 ⇔ AB AC 、 ACBCAB =+ 0 0=++ CABCAB 032211 =++++ AAAAAAAA n =− OBOA BA 11, yx 22 , yx ± 2121 , yyxx ±± 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有︱ ︱－︱ ︱≤︱ ︱≤︱ ︱+︱ ︱． 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0. (2)运算律：设 λ，μ 是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)若 =（ ），则 · =（ ）． 4．共线向量定理 (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得 b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ∥b ． 注意：(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公 共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． （二） 平面向量的基本定理及其坐标表示 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2， 使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量 e1，e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB → ＝(x2－x1，y2－y1)，|AB → |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 共线． 注意：（1）向量坐标与点的坐标的区别： 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA → ＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标 统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a＝OA → ＝(x，y)． 当平面向量OA → 平行移动到O1A1→ 时，向量不变，即O1A1→ ＝OA → ＝(x，y)，但O1A1→ 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了 变化． AB a AD b AC a b BD b a DB a b a b a ± b a b a 11, yx λ a 11, yx λλ a λ λ a a 11, yx 22 , yx a 01221 =−⇔ yxyx （2）误区 1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大 小的信息．2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成x1 x2＝y1 y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以 应表示为 x1y2－x2y1＝0. （三）平面向量的数量积 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ， 其中︱b︱cos 称为向量 b 在 方向上的投影。 规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的数量积． 4．向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2) ⊥b ·b=0（ ，b 为非零向量）； (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|，特别的，a·a＝|a| 2 或者︱ ︱= ； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； 当 为锐角时， ＞0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件（因 a 和 b 的夹角可能为 0°）； 当 为钝角时， ＜0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条件（因 a 和 b 的夹角可能为 180°）； (4)cos θ＝ a·b |a||b|；得 (5)|a·b|≤|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边 平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量， 即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？ θ a a ⇔ a a a 2 1 2 1 yxaa +=• θ a • b a b 、 0a b⋅ >  θ θ a • b a b 、 0a b⋅ <  θ | | | || |a b a b• ≤    cbacba )()( •≠• 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝ x21＋y21； (3)cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22； (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 7．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB → ＝a，则|a|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2(平面内两点间的距离公式)． 注意：(1)若 a，b，c 是实数，则 ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c 若满足 a·b ＝a·c(a≠0)，则不一定有 b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，a(b·c)表示一 个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)c 与 a(b·c)不一定相等． (3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC 中，AB→ 与BC→ 的夹角应为 120°，而不是 60°. （三）平面向量的应用 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相 似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝ a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 (θ 为 a 与 b 的夹角)． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来 解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积．即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)． 一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时， 要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量 的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两 向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查， 是知识的交汇点。 归纳总结： 1、平面向量的坐标运算 ①若a=（x1,y1），b=（x2,y2）则a + b=（x1+ x2, y1+y2），a ― b=（x1-x2, y1-y2）， ②若 =（x,y），λ∈R，则λ =（λx, λy）， ③坐标向量的大小| |= x2 + y2a a a ④两向量平行（共线）的充要条件：若 =（x 1,y1 ）， =（x 2,y2 ）， ＝0 ⑤若 A（x1,y1），B（x2,y2），则 =（x2-x1, y2-y1） ⑥距离公式：| |= （x1 - x2）2 + (y2 ― y1)2 ⑦若 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∙ =（x1，y1）∙（x2，y2）=x1x2+y1y2。 ⑧向量垂直的充要条件：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 .特 别地 ⑨ 向 量 夹 角 公 式 的 坐 标 表 示 ： 两 个 向 量 =(x1,y1), =(x2,y2) ， 、 的 夹 角 为 θ ， 则 cos θ = 2、向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2） ，特别地： 当 同向或有 ； 当 反向或有 ； 当 不共线 (这些和实数比较类似). （3）在 中： ①若 ，则其重心的坐标为 ； ② 为 的重心，特别地 为 的重心； ③ 为 的垂心； ④向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)； ⑤ 的内心； （3）若 P 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ，特别地 为 的中点 ； （4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 . 二、考点、题型及方法 考点 1 平面向量的线性运算与坐标运算（模长、平行、垂直、夹角、投影等问题） 1、（上海）已知向量 ，若 ，则 等于( ) a b //a b a bλ⇔ =    2 2( ) (| || |)a b a b⇔ ⋅ =    1 2 1 2x y y x⇔ − AB AB a b a b a b 0 | | | |a b a b a b a b⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + = −        1 2 1 2 0x x y y⇔ + = ( ) ( )AB AC AB AC AB AC AB AC + ⊥ −         a b a b 2 1 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx +⋅+ + || | | || | | | | | |a b a b a b− ≤ ± ≤ +      a b 、 0 ⇔ | | | | | |a b a b+ = +    ≥ || | | || | |a b a b− = −    a b 、 0 ⇔ | | | | | |a b a b− = +    ≥ || | | || | |a b a b− = +    a b 、 ⇔ || | | || | | | | | |a b a b a b− < ± < +      ABC∆ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y 1 2 3 1 2 3,3 3 x x x y y yG + + + +     1 ( )3PG PA PB PC= + +    ⇔ G ABC∆ 0PA PB PC P+ + = ⇔    ABC∆ PA PB PB PC PC PA P⋅ = ⋅ = ⋅ ⇔      ABC∆ ( )( 0) | | | | ACAB AB AC λ λ+ ≠   ABC∆ BAC∠ | | | | | | 0AB PC BC PA CA PB P+ + = ⇔       ABC∆ 1 2PP λ M 1 2 1 MP MPMP λ λ += +   P 1 2PP 1 2 2 MP MPMP +⇔ =   PA PB PC  、 、 A B C、 、 ⇔ α β、 PA PB PCα β= +   1α β+ = (2, 3), (3, )a b λ= − = //a b λ （A） . （B） . （C） . （D） 解析：由题意得 2 -（-3）3=0，所以 = 。 2、（湖南卷文）在 中，AB=3，AC=2，BC= ，则 ( ) A． B． C． D． 【解析】由余弦定理得 所以 选Ｄ. 3、（浙江卷文）已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则 （ D ） A． B． C． D． 4、（江西卷文）已知向量 ， ， ，若 则 = ． 答案： 【解析】因为 所以 . 5、(江苏)已知 e1，e2 是夹角为2π 3 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若 a·b＝0，则实数 k 的 值为________． 解析　由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即 ke21＋e1e2－2ke1e2－2e22＝0，即 k＋cos 2π 3 －2kcos2π 3 －2＝0，化简可求得 k＝5 4. 6、（浙江卷）已知 ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则 的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D） 解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。 展开 则 的 最 大 值 是 ; 或 者 利 用 数 形 结 合 , ， 对 应 的 点 A,B 在 圆 上, 对应的点 C 在圆 上即可. 7、(广东)若向量 a，b，c 满足 a∥b 且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由 a∥b 及 a⊥c，得 b⊥c，则 c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故选 D. 答案　D 8、（全国卷Ⅱ）已知向量 ，则 （ ） A. B. C. D. (1,2)=a (2, 3)= −b c ( ) / /+c a b ( )⊥ +c a b c = 7 7( , )9 3 7 7( , )3 9 − − 7 7( , )3 9 7 7( , )9 3 − − (3,1)a = (1,3)b = ( ,2)c k= ( )a c b− ⊥   k 0 (3 , 1),a c k− = − −  0k = ( )2,1 , 10,| | 5 2a a b a b= ⋅ = + = | |b = 5 10 5 25 2 3 2− 9 2 − 2 3 − λ λ 9 2 − ABC∆ 10 AB AC⋅ =  2 3− 3 2− 3 2 2 3 1cos ,4CAB∠ = 1 33 2 ,4 2AB AC⋅ = × × =  a c 0)()( =−⋅− cbca c 2 2 2 | | | | 1, 0,a b a b= = ⋅ =     2( ) ( ) 0 | | ( ) | | | | cos ,a c b c c c a b c a b θ− ⋅ − = ⇒ = ⋅ + = ⋅ +           | | | | cos 2 cos ,c a b θ θ∴ = + =   c 2 a b 2 2 1x y+ = c 2 2 2x y+ = 解： 。故选 C 9、（辽宁卷）平面向量 a 与 b 的夹角为 ， ， 则 （A） (B) (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴ 选 B 10、(新课标全国)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 θ，有下列四个命题： p1：|a＋b|＞1⇔θ∈[0，2π 3 )； p2：|a＋b|＞1⇔θ∈( 2π 3 ，π]； p3：|a－b|＞1⇔θ∈[0，π 3)；p4：|a－b|＞1 ⇔θ∈( π 3 ，π].其中的真命题是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 解析　由|a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2＝ 2＋2cos θ＞1，得 2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－1 2 ，∴0≤θ＜2π 3 . 由|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 2－2cos θ＞1，得 2－2cos θ＞1，∴cos θ＜ 1 2 ，∴π 3 ＜θ＜π.∴p 1，p4 正确．答 案　A 11、(全国文)设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－1 2 ，则|a＋2b|＝(　　)． A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析　依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×(－1 2 )＝3，则|a＋2b|＝ 3，故选 B. 12、(湖北文)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则 2a＋b 与 a－b 的夹角等于(　　)． A．－π 4 B.π 6 C.π 4 D.3π 4 解析　2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则 cos〈2a＋b，a－b〉＝ (2a＋b)·(a－b) |2a＋b|·|a－b| ＝ 9 3 2 × 3 ＝ 2 2 ，故夹 角为π 4 ，选 C. 13、（宁夏）若 ，且 ，则 与 的夹角是 （ ） A． B． C． D． B 14、若向量 = ， = ，且 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是______________. 错误分析：只由 的夹角为钝角得到 而忽视了 不是 夹角为钝角的充要条件,因为 2 2 2 250 | | | | 2 | | 5 20 | |a b a a b b b= + = + + = + +         | | 5b∴ = 060 (2,0)a = 1b = 2a b+ = 3 2 3 2a b+ = 2 3 2,2 == ba ( ) aba ⊥− a b 6 π 4 π 3 π 2 π a )( xx 2, b )( 2,3x− a b x ba , ,0<⋅ba  0<⋅ba  ba , ba , 的夹角为 时 也 有 从而扩大 的范围,导致错误. 正确解法: ， 的夹角为钝角, 解得 或 (1) 又由 共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得 的范围是 答案: . 训练 1 设平面向量 =(－2，1)， =(λ，－1)，若 与 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 错因：忽视使用 时，其中包含了两向量反向的情况，正解：A 训练 2 已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______ （答： 或 且 ）； 15.（浙江卷文）已知 是平面内的单位向量，若向量 满足 ，则 的取值范围是 16、 17、 (舍负). 18.（陕西卷文）关于平面向量 ．有下列三个命题： a b ( ) 0b a b− =    | |b 180 ,0<⋅ba  x  a b ( ) ⋅+−⋅=⋅∴ xxxba 23 0432 2 <+−= xx 0x ba , 3 1−=x x     −∞− 3 1,    +∞  − ,3 40,3 1      −∞− 3 1,    +∞  − ,3 40,3 1  a b a b ),2()2,2 1( +∞∪− ),2( +∞ ),2 1( +∞− )2 1,( −−∞ 0<⋅ba )2,( λλ= → a )2,3( λ= → b → a → b λ 4 3 λ < − 0λ > 1 3 λ ≠ 2 3 2 2 2 1 0,a a a a a a⇒ + = − ⇒ − − = 1 2a∴ = + ， ，a b c ① 若 ， 则 ． ② 若 ， ， 则 ． ③ 非 零 向 量 和 满 足 ，则 与 的夹角为 ．其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号） 解：① ，向量 与 垂直② ③ 构成等边三角形， 与 的夹角应为 所以真命题只有②。 考点 2 向量的数乘的几何意义 1.（江西卷文）如图，正六边形 中，有下列四个命题： A． B． C． D． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】 , ∴ 对取 的中点 ,则 , ∴ 对设 , 则 ,而 ,∴ 错 又 ,∴ 对∴真命题的代号是 2、（辽宁卷）已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 ，则 A． B． C． D． 解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。 依题 ∴ 答案：A 3、在 中， ，若点 满足 ，则 =（ ）． A. B. C. D. 【解法一】∵ ∴ ∴ ． ABC∆ , AB c AC b= =   D 2BD DC=  AD 2 1 3 3b c+  5 2 3 3c b−  2 1 3 3b c−  1 2 3 3b c+  2BD DC=  2 3BD BC=  2 2 1 2 1 2( )3 3 3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b= + = + = + − = + = +            a b = a c =b c (1 ) ( 2 6)k= = −， ， ，a b ∥a b 3k = − a b | | | | | |= = −a b a b a +a b 60 ( ) 0a b a c a b c⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = a b c− ∥a b b aλ⇒ = 1 2 6 k⇒ =− 3k⇒ = − | | | | | |= = −a b a b , ,a b a b⇒ − a +a b 30 ABCDEF 2AC AF BC+ =   2 2AD AB AF= +   AC AD AD AB⋅ = ⋅    ( ) ( )AD AF EF AD AF EF⋅ = ⋅      2AC AF AC CD AD BC+ = + = =      A AD O 2 2AD AO AB AF= = +    B 1AB = 3 2 cos 36AC AD π⋅ = × × =  2 1 cos 13AD AF π⋅ = × × =  C 21 2 cos 1 ( )3AB AD AF π⋅ = × × = =   D , ,A B D 2 0AC CB+ =  OC = 2OA OB−  2OA OB− +  2 1 3 3OA OB−  1 2 3 3OA OB− +  2 2( ).OC OB BC OB AC OB OC OA= + = + = + −        2 .OC OA OB= −   A B DE CF E C A B D 4.(山东卷)设 P 是△ABC 所在平面内的一点， ，则（　　　） A. B. C. D. 【解析】:因为 ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 B。答案：B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 5、（湖北文）设 ， 在 上的投影为 ， 在 轴上的投影为 2，且 ，则 为（ Ｂ ） A． B． C． D． 训练（1）已知 ，求 在 方向上的投影 （2）已知 ，求 在 方向上的投影 6、（安徽文）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或 = + ，其中 ， R ，则 + = ______。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】设 、 则 , , 代入条件得 【答案】4/3 7.（天津卷）如图，在平行四边形 中， ， 则 . 解析：令 ， ，则 所以 . 8、（安徽） 在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （用 表示）． 9、（湖北）5．已知 和点 M 满足 .若存在实数 m 使得 成立，则 m= 2BC BA BP+ =   0PA PB+ =   0PC PA+ =   0PB PC+ =   0PA PB PC+ + =    2BC BA BP+ =   BC b=  BA a=  1 2AF b a= −   1 2AE b a= −   AC b a= −   2 4 3 3u uλ λ= = ∴ + = ABC∆ 0MA MB MC −−→ −−→ −−→ + =+ AB AC AMm −−→ −−→ −−→ + = (4 3)= ，a a b 5 2 2 b x | | 14≤b b (214)， 22 7  −  ， 22 7  −  ， (2 8)， 60,,5 >=<= baa a b 5,3 ==• aba b a ABCD ( ) ( )1,2 , 3,2AC BD= = −  AD AC⋅ =  AB a=  AD b=  (1,2) (2,0), ( 1,2) ( 3,2) a b a b a b  + = ⇒ = = −− + = −   ( ) 3AD AC b a b⋅ = ⋅ + =    O ABC− OA OB OC D= = =  ， ， ，a b c BC E AD OE = 1 1 1 2 4 4 + +a b c ， ，a b c A．2 B．3 C．4 D．5 10、（湖南）在 中， =90°AC=4，则 等于 A、-16 B、-8 C、8 D、16 11、（四川文）（6）设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 解析：由 ＝16，得|BC|＝4 ＝4 而 故 2 答案：C 12 若 为 的 边 的 中 点 ， 所 在 平 面 内 有 一 点 ， 满 足 ， 设 ，则 的值为___（答：2） 考点 3 平面向量的综合运用 1、平面向量与线性规划 (福建卷)已知 O 是坐标原点，点 A(－1,1)．若点 M(x，y)为平面区域Error!上的一个动点，则OA→ ·OM→ 的取值范围是(　　)． A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] Rt ABC∆ C∠ AB AC⋅  M BC A BC 2 16BC = AB AC AB AC+ = −    AM = 2 BC AB AC AB AC BC + = − =| |     AB AC AM + = 2    AM = D ABC∆ BC ABC∆ P 0PA BP CP+ + =    | | | | AP PD λ=   λ 2、平面向量与函数 例题 (北京)若 a，b 是非零向量，且 a⊥b，|a|≠|b|，则函数 f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)． A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但 不是偶函数 3、平面向量与三角函数 例题 1 (安徽卷)△ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，cos A＝12 13. (1)求AB→ ·AC→ ； (2)若 c－b＝1，求 a 的值． 先求 sin A，再利用面积公式求 bc，最后利用数量积及余弦定理可解决． 由 cos A＝12 13 ，得 sin A＝ 1－( 12 13 )2＝ 5 13.(2 分) 又 1 2bcsin A＝30， ∴bc＝156.(4 分) (1)AB→ ·AC→ ＝bccos A＝156×12 13 ＝144(8 分) (2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×(1－12 13)＝25，又 a＞0(10 分) ∴a＝5.(12 分) 训练 1、（山东文）在 中，角 的对边分别为 ． （1）求 ； （2）若 ，且 ，求 ． 解：（1） 又 解得 ． ， 是锐角． ． （2）由 ， ， ． 又 ． ． ． ． 训练 2 已知向量 ， ， ． （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若 ， ，且 ，求 的值． 解（Ⅰ） , . , , 即 . . （Ⅱ） ， ， . ABC△ A B C， ， tan 3 7a b c C =， ， ， cosC 5 2CB CA• =  9a b+ = c sintan 3 7 3 7cos CC C = ∴ = ， 2 2sin cos 1C C+ = 1cos 8C = ± tan 0C > C∴ 1cos 8C∴ = 5 2CB CA• =  5cos 2ab C∴ = 20ab∴ = 9a b+ = 2 22 81a ab b∴ + + = 2 2 41a b∴ + = 2 2 2 2 cos 36c a b ab C∴ = + − = 6c∴ = (cos ,sin )a α α= (cos ,sin )b β β= 2 5 5a b− =  cos( )α β− 0 2 πα< < 02 π β− < < 5sin 13 β = − sinα ( ) ( )cos sin cos sina bα α β β= =   ， ， ， ( )cos cos sin sina b α β α β∴ − = − −  ， 2 5 5a b− =   ( ) ( )2 2 2 5cos cos sin sin 5 α β α β∴ − + − = ( ) 42 2cos 5 α β− − = ( ) 3cos 5 α β∴ − = 0 , 0, 0 .2 2 π πα β α β π< < − < < ∴ < − < ( ) 3cos 5 α β− = ( ) 4sin .5 α β∴ − = 5sin 13 β = − 12cos .13 β∴ = ( ) ( ) ( )sin sin sin cos cos sinα α β β α β β α β β∴ = − + = − + −   4 12 3 5 33 5 13 5 13 65  = ⋅ + ⋅ − =   4、平面向量与圆锥曲线的综合 例题 1 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，若 是该椭圆上的一个动点，求 · 的最大值和最小值; 解：（Ⅰ）解法一：易知 ,所以 ，设 ，则 因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值 当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 解法二：易知 ，所以 ，设 ，则 （以下同解法一） 例题 2 求 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）若 r 是第一象限内该数轴上的一点， ，求点 P 的作标； （Ⅱ）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且∠ADB 为锐角（其中 O 为作标原 点），求直线 的斜率 的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题 及推理计算能力． （Ⅰ）易知 ， ， ．∴ ， ．设 ．则 ，又 ， 联立 ，解得 ， ． （Ⅱ）显然 不满足题设条件．可设 的方程为 ，设 ， ． 联立 1F 2F 14 2 2 =+ yx P 1PF 2PF 2, 1, 3a b c= = = ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− ( ),P x y ( ) ( ) 2 2 1 2 3 , , 3 , 3PF PF x y x y x y⋅ = − − − − − = + −  ( )2 2 211 3 3 84 4 xx x= + − − = − [ ]2,2x∈ − 0x = P 1 2PF PF⋅  2− 2x = ± P 1 2PF PF⋅  1 2, 1, 3a b c= = = ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− ( ),P x y 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos 2 PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF + − ⋅ = ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅            ( ) ( )2 22 2 2 21 3 3 12 32 x y x y x y = + + + − + − = + −   2 2 14 x y+ = 2 2 1 2 5 4PF PF+ = −  l k 2a = 1b = 3c = 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F ( , )P x y ( 0, 0)x y> > 2 2 1 2 5( 3 , )( 3 , ) 3 4PF PF x y x y x y⋅ = − − − − − = + − = −  2 2 14 x y+ = 2 2 2 2 7 4 14 x y x y  + =  + = 2 2 11 3 3 4 2 xx y y = = ⇒ = =   3(1, )2P 0x = l 2y kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 2 2 21 4( 2) 4 (1 4 ) 16 12 04 2 x y x kx k x kx y kx  + = ⇒ + + = ⇒ + + + =  = + ∴ ， 由 ， ，得 ．① 又 为锐角 ， ∴ 又 ∴ ∴ ．② 综①②可知 ，∴ 的取值范围是 ． 考点 4 重心、垂心、外心、内心等问题 例题 （海南）已知 O，N，P 在 所在平面内，且 ，且 ，则点 O，N，P 依次是 的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析： ; 1 2 2 12 1 4x x k = + 1 2 2 16 1 4 kx x k + = − + 2 2(16 ) 4 (1 4 ) 12 0k k∆ = − ⋅ + ⋅ > 2 216 3(1 4 ) 0k k− + > 24 3 0k − > 2 3 4k > AOB∠ cos 0 0AOB OA OB⇔ ∠ > ⇔ ⋅ >  1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + >  2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4y y kx kx k x x k x x= + + = + + + 1 2 1 2x x y y+ 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x= + + + + 2 2 2 12 16(1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 kk kk k = + ⋅ + ⋅ − ++ + 2 2 2 12(1 ) 2 16 41 4 1 4 k k k k k + ⋅= − ++ + 2 2 4(4 ) 01 4 k k −= >+ 21 44 k− < < 23 44 k< < k 3 3( 2, ) ( ,2)2 2 − −  ABC∆ , 0OA OB OC NA NB NC= = + + = PA PB PB PC PC PA• = • = • ABC∆ , 0OA OB OC O ABC NA NB NC O ABC= = ∆ + + = ∆由 知 为 的外心；由 知， 为 的重心 ( ) 0 0, , , . PA PB PB PC PA PC PB CA PB CA PB AP BC P C • = • ∴ − • = ∴ • = ∴ ⊥ ⊥ ∴ ∆  ， ， 同理， 为 ABC的垂心，选