高考数学总复习 三角函数

高考数学总复习 三角函数

高考数学总复习------三角函数 ‎【重点知识回顾】‎ 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：‎ ‎1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 ‎2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正 ‎3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“‎1”‎的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取 ‎4.求三角函数值域的常用方法：‎ 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：‎ ‎（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；‎ ‎（2）利用的有界性求值域；‎ ‎（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性 ‎5. 三角函数的图象与性质 ‎（一）列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：‎ ‎⑴最值的情况；‎ ‎⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；‎ ‎⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；‎ 的对称轴是，对称中心是；‎ 的对称轴是，对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化.‎ ‎⑷写单调区间注意.‎ ‎（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．‎ ‎⑴“五点法”作图的列表方式；‎ ‎⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.‎ ‎（三）正弦型函数的图象变换方法如下：‎ 先平移后伸缩 ‎　　的图象 得的图象 得的图象 得的图象 得的图象．‎ 先伸缩后平移 的图象 得的图象 得的图象 得的图象得的图象．‎ ‎【典型例题】‎ 例1.已知，求（1）；（2）的值.‎ 解：（1）；‎ ‎(2) ‎ ‎ .‎ 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化 例2.已知向量 ‎，且，‎ ‎(1)求函数的表达式；‎ ‎(2)若，求的最大值与最小值 解：(1)，，，又，‎ 所以，‎ 所以，即；‎ ‎(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：‎ t ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，3)‎ 导数 ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 递减 极小值 递增 而所以 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。‎ 例3. 平面直角坐标系有点 ‎（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；‎ ‎（2）求的最值.‎ 解：（1），‎ ‎ 即 ‎ ‎（2） ， 又 ，‎ ‎ ， ， .‎ 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 例4. 设 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq‎-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.‎ 解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq‎-2m-2<0 恒成立.‎ 令 t=sinq, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt‎-2m-2<0 恒成立.‎ 即 f(t)=t2-2mt+‎2m+1=(t-m)2-m2+‎2m+1>0 对 tÎ[0, 1] 恒成立.‎ 故可讨论如下: ‎ ‎(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 ‎2m+1>0. 解得 m>, ∴0. 即 -m2+‎2m+1>0. 亦即 m2‎-2m-1<0. 解得: 11, 则 f(1)>0. 即 ‎0×‎m+2>0. ∴mÎR, ∴m>1.‎ 综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).‎ 解法 2 题中不等式即为 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.‎ 当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mÎR; ‎ 当 0≤sinq<1 时,恒成立. ‎ 令 t=1-sinq, 则 tÎ(0, 1], 且 恒成立. ‎ 易证 g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - , ‎ ‎∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞). ‎ 说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式 ‎【模拟演练】‎ 一、选择 ‎1．点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．函数在区间(，)内的图象大致是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知∠A．∠B．∠C为三角形的三个内角，且，则△ABC是 （　　）‎ A．等边三角形　　 B．等腰三角形　　C．直角三角形　 D．无法确定 ‎7．关于函数的图象，有以下四个说法：‎ ‎①关于点对称； ②关于点对称；‎ ‎③关于直线对称； ④关于直线对称 则正确的是 （　　）‎ A．①③　 B．②③　 C．①④　　 D．②④‎ ‎9.如图，某走私船在航行中被我军发现，我海军舰艇在处获悉后，测出该走私船在方位角为，距离为的处，并测得走私船正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 （ ）‎ A．20 B． C．30 D．50‎ ‎11．在中，分别为三个内角的对边，设向量，若向量，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 二、填空 ‎13．已知向量且，则与方向相反的单位向量的坐标为_________。‎ 原专题三的平面向量与三角函数的第15题 ‎16．已知函数（， ，）的一段图象如图所示，则这个函数的单调递增区间为 。‎ ‎18．（12分）已知，‎ ‎（1）求的最大值和最小值；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围。‎ ‎19．（12分）已知向量，且分别为的三边所对的角。‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若成等差数列，且，求c的边长。‎ ‎21．（12）已知：向量 ，，函数 ‎（1）若且，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．‎ 参考答案 ‎1．D 解析： ，易知角终边在第三象限，从而有为正， 为负，所以点位于第四象限。‎ ‎2．A．解：y＝，所以，选A．。‎ ‎6．B．解：因为，所以 ‎ 即：，有 即＝，即 则，又因为为三角形的内角，则，所以为等腰三角形。‎ ‎7．B．解：当时，＝1，当x＝时，＝0，所以，②③正确。‎ ‎9．B 解：设舰艇收到信号后在处靠拢走私船，则，，又nmile，.‎ 由余弦定理，得 ‎，‎ 即 ‎.‎ 化简，得 ‎，‎ 解得（负值舍去）.‎ 答案：B ‎11．B 解析：由，得，又，所以，所以。‎ ‎13. 解：因为，所以，解得：，所以，所以，所以与方向相反的单位向量的坐标为。‎ ‎16． 解：由图象可知：；A＝＝3。所以，y＝3sin（2x＋），‎ 将代入上式，得：＝1，＝2k＋，即＝2k＋，‎ 由｜｜＜，可得：所以，所求函数解析式为：。‎ ‎∵当时，单调递增 ‎ ∴‎ ‎18．解：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 。 4分 ‎ 所以当=1时。 ‎ ‎ 所以当=-1时。 6分 ‎（2）在上恒成立，‎ ‎ 即在上恒成立，‎ ‎ 只需， 。 8分 ‎ 令，， ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以当时，有最小值，， ‎ ‎ 故。 12分 ‎19．解：（1），‎ ‎ ， ‎ ‎ 。 2分 ‎ 又，， ‎ ‎ 。 4分 ‎ ，。 6分 ‎（2）成等差数列， 。 ‎ ‎ 。 8分 ‎ 又，。 ‎ ‎ ， 。 10分 ‎ ‎ ，， ‎ ‎ ，。 12分 ‎21.解：∵＝。 2分 ‎（1）由得即，‎ ‎∵ 　　　　∴或 ‎∴或。 4分 ‎（2）∵‎ ‎＝‎ ‎。 8分 由得，‎ ‎∴的单调增区间. 10分 由上可得，当时，由得 ‎，，　　　∴。 12分