江苏高考数学模拟试卷四

江苏高考数学模拟试卷四

‎2013年江苏高考数学模拟试卷（四）‎ 第1卷（必做题，共160分） ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． ‎ ‎1．设，且为正实数，则的值为 .‎ ‎2．抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则 .‎ ‎3．函数是奇函数，则实数 .‎ ‎4．已知全集，集合，，则中最大的元素是 .‎ ‎5．若向量，满足，，且，则与的夹角为 . ‎ I←2‎ S←0‎ While I＜m ‎ S←S+I ‎ I←I+3‎ End While Print S End ‎6．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 .‎ ‎7．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，‎ 则的值为 ．‎ ‎8．若0＜x＜，则函数y＝的最大值为 ． ‎ ‎9．在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方 （第6题图）‎ ‎ 体内随机取一点 ，则点到点的距离大于1的概率为 .‎ ‎10．在中，两中线与相互垂直，则的最大值为 .‎ ‎11．某同学为研究函数的性质，构造了如右 图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，‎ ‎（第11题图）‎ 设，则. 请你参考这些信息，推知函数 的零点的个数是 .‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y＋3＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B 两点．若＋2＝，且点C也在圆O上，则圆O的方程为 .‎ ‎13．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1＝ .‎ ‎14．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是 .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15. （本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．‎ ‎ ⑴设，求证是等腰三角形；‎ ‎⑵设向量,，且∥,若，求的值．‎ ‎（第16题）‎ ‎16. （本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 平面，点是 的中点．‎ ‎⑴求证：∥平面；‎ ‎⑵求证：平面平面．‎ ‎17.（本小题满分14分如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．‎ ‎（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；‎ G ‎ a F ‎ E ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ O ‎ ‎（第17题）‎ ‎（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．‎ ‎18．(本小题满分16分) 已知椭圆和圆，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．‎ ‎⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为，求证：AP⊥OP；‎ ‎⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证 明直线MN恒过定点．‎ ‎19.（本小题满分16分）对于函数y＝f(x)，若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f(x)单调递减，当x＞t时，函数f(x)单调递增；②对任意x＞0，只要t－x，t＋x∈D，都有f(t－x)＞f(t＋x)，则称y＝f(x)为D内的“勾函数”．‎ ‎ （1）证明：函数y＝为(0，＋∞)内的“勾函数”；‎ ‎ （2）若D内的“勾函数”y＝g(x)的导函数为y＝g¢(x)，y＝g(x)在D内有两个零点x1，x2，求证：‎ g¢()＞0；‎ ‎（3）对于给定常数l，是否存在m，使函数h(x)＝lx3－l2x2－2l3x＋1在(m，＋∞)内为“勾 函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）已知数列中，，，数列的前n项和为，且满足．‎ ‎⑴求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎⑵数列中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项，3为公比的等比数列．‎ ‎①求这个等比数列的项数与n的关系式；‎ ‎ ②记，求证：．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ ‎（第21-A题）‎ A B P F O E D C ‎·‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵，向量，求向量，使得．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．‎ D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，‎ 比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.‎ ‎（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；‎ ‎（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎23．已知fn(x)＝(1＋2)n，n∈N*.‎ ‎(1) 若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；‎ ‎(2) 若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成 的数列，试用数学归纳法证明：．‎