高考高考数学复习不等式基本不等式练习题2
2012 年高考数学复习----不等式 基本不等式练习题 2
一、选择题
1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是( )
A．y＝x＋1
x
B．y＝cosx＋ 1
cosx
0
0，y>0，且2
x
＋1
y
＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数
m 的取值范围是( )
A．m≥4 或 m≤－2 B．m≥2 或 m≤－4
C．－20，y>0，且2
x
＋1
y
＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(2
x
＋1
y
)＝4＋4y
x
＋x
y
≥4＋2 4y
x
·x
y
＝8，当且仅当4y
x
＝x
y
，即 x＝2y 时取等号，
又2
x
＋1
y
＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2＋2m 恒成立，只需(x＋2y)min>m2
＋2m，即 8>m2＋2m，解得－40，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为 q，则 a6q＝a6＋2a6
q
，∴q2－q－2＝0，
∵q>0，∴q＝2，
∵ aman＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，
∴m＋n＝6，
∴ 1
m
＋4
n
＝1
6
(m＋n)
1
m
＋4
n ＝1
6
5＋n
m
＋4m
n ≥1
6
5＋2 n
m
·4m
n ＝3
2
，等号在n
m
＝4m
n
，即 n＝2m
＝4 时成立．
3．(2010·茂名市模考)“a＝1
4
”是“对任意的正数 x，均有 x＋a
x
≥1”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案] A
[解析] ∵a＝1
4
，x>0 时，x＋a
x
≥2 x·a
x
＝1，等号在 x＝1
2
时成立，又 a＝4 时，x＋a
x
＝x＋4
x
≥2 x·4
x
＝4 也满足 x＋a
x
≥1，故选 A.
4．(2010·广西柳州市模考)设 a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a，b 中有一个不是正数时，若 a＋b＝1，显然有 4ab≤1 成立，a，b 都是正数时，由
1＝a＋b≥2 ab得 4ab≤1 成立，故 a＋b＝1⇒4ab≤1，但当 4ab≤1 成立时，未必有 a＋b＝1，
如 a＝－5，b＝1 满足 4ab≤1，但－5＋1≠1，故选 A.
5．若 a>0，b>0，a，b 的等差中项是1
2
，且α＝a＋1
a
，β＝b＋1
b
，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵1
2
为 a、b 的等差中项，∴a＋b＝1
2
×2＝1.
a＋1
a
＋b＋1
b
⇒1＋1
a
＋1
b
＝1＋a＋b
ab
＝1＋ 1
ab
，
∵ ab≤a＋b
2
，∴ab≤ a＋b 2
4
＝1
4.∴原式≥1＋4.
∴α＋β的最小值为 5.故选 D.
6．(文)若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则1
a
＋
1
b
的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为 4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.
∴1
a
＋1
b
＝
1
a
＋1
b (a＋b)＝2＋b
a
＋a
b≥4.
当且仅当 a＝b＝1
2
时取等号．
(理)半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点，AB，AC，AD 两两互相垂直，则△ABC、△ACD、
△ADB 面积之和 S△ABC＋S△ACD＋S△ADB 的最大值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
[答案] C
[解析] 根据题意可知，设 AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知 AB，AC，AD 为球的内接长方体
的 一 个 角 ． 故 a2 ＋ b2 ＋ c2 ＝ 64 ， 而 S △ ABC ＋ S △ ACD ＋ S △ ADB ＝ 1
2
(ab ＋ ac ＋
bc)≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2
4
＝a2＋b2＋c2
2
＝32.
等号在 a＝b＝c＝8 3
3
时成立．
7．(文)已知 c 是椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的半焦距，则b＋c
a
的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．( 2，＋∞)
C．(1， 2) D．(1， 2]
[答案] D
[解析] 由题设条件知，a1，
∵a2＝b2＋c2，∴ b＋c 2
a2
＝b2＋c2＋2bc
a2
≤2 b2＋c2
a2
＝2，∴b＋c
a
≤ 2.故选 D.
(理)已知 F1、F2 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意
一点，若|PF1|2
|PF2|
的值为 8a，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2]
C．(1， 3] D．(1,3]
[答案] D
[解析] |PF1|2
|PF2|
＝ 2a＋|PF2| 2
|PF2|
＝ 4a2
|PF2|
＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当 4a2
|PF2|
＝|PF2|，
即|PF2|＝2a 时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得 6a≥2c，即 e＝c
a
≤3，∴e
∈(1,3]．
8．(2010·南昌市模拟)已知 a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则 M 的整数部分是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0b>0，则集合 M 等于( )
A．E∩F B．E∪F
C．E∩(∁ RF) D．(∁ RE)∩F
[答案] C
[解析] ∵a>b>0，
∴a＝a＋a
2
>a＋b
2
> ab> b2＝b，
如图可见集合 M 在 E 中，不在 F 中，故 M＝E∩∁ RF.
10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、
AC 于 E、F 两点，若AB→＝λAE→(λ>0)，AC→＝μAF→(μ>0)，则1
λ
＋4
μ
的最小值是( )
A．9 B.7
2
C．5 D.9
2
[答案] D
[解析] ED→＝AD→ －AE→＝1
2
(AB→＋AC→)－AE→
＝1
2(λAE→＋μAF→)－AE→＝
λ
2
－1
AE→＋μ
2
AF→，
EF→＝AF→－AE→.
∵ED→与EF→共线，且AE→与AF→不共线，∴
λ
2
－1
－1
＝
μ
2
1
，
∴λ＋μ＝2，∴1
λ
＋4
μ
＝1
2
1
λ
＋4
μ (λ＋μ)
＝1
2
5＋μ
λ
＋4λ
μ ≥9
2
，等号在μ＝4
3
，λ＝2
3
时成立．
(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中，点 P 是斜边 BC 的中点，过点 P 的直线
分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB→＝mAM→ ，AC→＝nAN→ ，则 mn 的最大值为( )
A.1
2
B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为 2，则 P 点坐标
为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵AB→＝mAM→ ，AC→＝nAN→ ，
∴AM→ ＝AB→
m
，AN→ ＝AC→
n
，∴M
0，2
m 、N
2
n
，0 ，
∴直线 MN 的方程为my
2
＋nx
2
＝1，
∵直线 MN 过点 P(1,1)，∴m
2
＋n
2
＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2 mn，∴mn≤ m＋n 2
4
＝1，当且仅当 m＝n＝1 时取等号，∴mn 的最大值为 1.
二、填空题
11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知 b>0，直线 b2x＋y＋1＝0 与 ax－(b2＋4)y＋2
＝0 互相垂直，则 ab 的最小值为________．
[答案] 4
[解析] ∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0，∴a＝b2＋4
b2
，∵b>0，∴ab＝b2＋4
b
＝b＋4
b≥4，
等号在 b＝4
b
，即 b＝2 时成立．
12．(文)(2010·重庆文，12)已知 t>0，则函数 y＝t2－4t＋1
t
的最小值为________．
[答案] －2
[解析] y＝t2－4t＋1
t
＝t＋1
t
－4
因为 t>0，y＝t＋1
t
－4≥2 t·1
t
－4＝－2.
等号在 t＝1
t
，即 t＝1 时成立．
(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数 y＝2x，y＝x2，y＝8
x
的图象都过点 A，且点 A 在
直线 x
m
＋ y
2n
＝1(m>0，n>0)上，则 log2m＋log2n 的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由题易得，点 A 的坐标为(2,4)，因为点 A 在直线 x
m
＋ y
2n
＝1(m>0，n>0)上，所以 1＝
2
m
＋ 4
2n
≥2 2
m
· 4
2n
，∴mn≥16，所以 log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故 log2m＋log2n 的最小值
为 4.
13．(文)(2010·南充市)已知正数 a，b，c 满足：a＋2b＋c＝1 则1
a
＋1
b
＋1
c
的最小值为________．
[答案] 6＋4 2
[解析] 1
a
＋1
b
＋1
c
＝a＋2b＋c
a
＋a＋2b＋c
b
＋a＋2b＋c
c
＝
2b
a
＋a
b ＋
c
a
＋a
c ＋
c
b
＋2b
c ＋4≥2 2＋
2＋2 2＋4＝6＋4 2，
等号在2b
a
＝a
b
，c
a
＝a
c
，c
b
＝2b
c
同时成立时成立．
即 a＝c＝ 2b＝1－ 2
2
时等号成立．
(理)(2010·北京延庆县)已知 x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则 xy 的最大值是________．
[答案] 1
12
[解析] ∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即 2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝1
3x·(3y)≤1
3·
x＋3y
2 2
＝ 1
12
，等号在 x＝3y，即 x＝1
2
，y＝1
6
时成立．
14．(文)(2010·重庆一中)设 M 是△ABC 内一点，且AB→·AC→＝2 3，∠BAC＝30°，定义 f(M)＝(m，
n，p)，其中 m，n，p 分别是△MBC，△MCA，△MAB 的面积．若 f(M)＝
1
2
，x，y ，则1
x
＋4
y
的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos30°
＝ 3
2
|AB|·|AC|＝2 3，∴|AB|·|AC|＝4，
由 f(M)的定义知，S△ABC＝1
2
＋x＋y，
又 S△ABC＝1
2
|AB|·|AC|·sin30°＝1，
∴x＋y＝1
2
(x>0，y>0)
∴1
x
＋4
y
＝2(x＋y)
1
x
＋4
y ＝2
5＋y
x
＋4x
y ≥2(5＋2 4)＝18，等号在y
x
＝4x
y
，即 y＝2x＝1
3
时成立，
∴
1
x
＋4
y min＝18.
(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆 x2＋y2＝1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则 AB
的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x
a
＋y
b
＝1，则 ab
a2＋b2
＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点 A(a,0)和(0，b)，不妨设 a>0，b>0，∴ab≥2，则 AB
＝|AB|＝ a2＋b2≥ 2ab≥2.
三、解答题
15．已知α、β都是锐角，且 sinβ＝sinαcos(α＋β)．
(1)当α＋β＝π
4
，求 tanβ的值；
(2)当 tanβ取最大值时，求 tan(α＋β)的值．
[解析] (1)∵由条件知，sinβ＝ 2
2 sin
π
4
－β ，
整理得 3
2
sinβ－1
2
cosβ＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＝1
3
.
(2)由已知得 sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝sinαcosα
1＋sin2α
＝ sinαcosα
2sin2α＋cos2α
＝ tanα
2tan2α＋1
＝ 1
2tanα＋ 1
tanα
≤ 1
2 2
＝ 2
4
.
当且仅当 1
tanα
＝2tanα时，取“＝”号，
∴tanα＝ 2
2
时，tanβ取得最大值 2
4
，
此时，tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
＝ 2.
16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD，
现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ，要求 P 在射线 AM 上，Q 在射线 AN 上，且 PQ
过点 C，其中 AB＝30 米，AD＝20 米．记三角形花园 APQ 的面积为 S.
(1)当 DQ 的长度是多少时，S 最小？并求 S 的最小值．
(2)要使 S 不小于 1600 平方米，则 DQ 的长应在什么范围内？
[解析] (1)设 DQ＝x 米(x>0)，则 AQ＝x＋20，
∵QD
DC
＝AQ
AP
，∴ x
30
＝x＋20
AP
，
∴AP＝30 x＋20
x
，则 S＝1
2×AP×AQ＝15 x＋20 2
x
＝15(x＋400
x
＋40)≥1200，当且仅当 x＝20 时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴0b>0)以双曲线x2
3
－y2＝1 的焦点为顶点，其离心率与双曲线的
离心率互为倒数．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A，B，点 M 是椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点．
①求证：直线 MA，MB 的斜率之积为定值；
②若直线 MA、MB 与直线 x＝4 分别交于点 P、Q，求线段 PQ 长度的最小值．[来源:Zxxk.Com]
[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数 a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得点 A，
B 坐标，设出 M 点坐标，可列出 kMA·kMB 的表达式，利用 M 在椭圆上可消元，通过计算验
证结果为常数，再根据点 A、M、P 三点共线和 M、B、Q 三点共线就可以找到点 P、Q 的纵
坐标之间的关系，即可求出线段 PQ 长度的最小值．
[解析] (1)易知双曲线x2
3
－y2＝1 的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为 2
3
，故在椭圆 C 中 a＝2，
e＝ 3
2
，∴c＝ 3，b＝1，故椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)①设 M(x0，y0)，(x0≠±2)，由题易知 A(－2,0)，B(2,0)，则 kMA＝ y0
x0＋2
，kMB＝ y0
x0－2
，
故 kMA·kMB＝ y0
x0＋2
· y0
x0－2
＝ y02
x02－4
，
点 M 在椭圆 C 上，则x02
4
＋y02＝1，
即 y02＝1－x02
4
＝－1
4
(x02－4)，故 kMA·kMB＝ y02
x02－4
＝－1
4
，直线 MA，MB 的斜率之积为定
值．
②解法一：设 P(4，y1)，Q(4，y2)，则 kMA＝kPA＝y1
6
，kMB＝kBQ＝y2
2
，由①得y1
6
·y2
2
＝－1
4
，
即 y1y2＝－3，当 y1>0，y2<0 时，|PQ|＝|y1－y2|≥2 －y1y2＝2 3，当且仅当 y1＝ 3，y2
＝－ 3时等号成立，同理可得，当 y1<0，y2>0 时，当且仅当 y1＝－ 3，y2＝ 3时，|PQ|
有最小值 2 3.
解法二：设直线 MA 的斜率为 k，直线 MA 的方程为 y＝k(x＋2)，从而 P(4,6k)，由①知直线
MB 的斜率为－ 1
4k
，直线 MB 的方程为 y＝－ 1
4k(x－2)，故得 Q
4，－ 1
2k ，故|PQ|＝|6k＋
1
2k
|≥2 3，当且仅当 k＝± 3
6
时等号成立．
