高考高考数学复习不等式基本不等式练习题2

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高考高考数学复习不等式基本不等式练习题2

2012 年高考数学复习----不等式 基本不等式练习题 2 一、选择题 1.(2010·山东东营质检)在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( ) A.y=x+1 x B.y=cosx+ 1 cosx 00,y>0,且2 x +1 y =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥4 或 m≤-2 B.m≥2 或 m≤-4 C.-20,y>0,且2 x +1 y =1, ∴x+2y=(x+2y)(2 x +1 y )=4+4y x +x y ≥4+2 4y x ·x y =8,当且仅当4y x =x y ,即 x=2y 时取等号, 又2 x +1 y =1,∴x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2 +2m,即 8>m2+2m,解得-40,a7=a6+2a5,设{an}的公比为 q,则 a6q=a6+2a6 q ,∴q2-q-2=0, ∵q>0,∴q=2, ∵ aman=4a1,∴a12·qm+n-2=16a12,∴m+n-2=4, ∴m+n=6, ∴ 1 m +4 n =1 6 (m+n) 1 m +4 n =1 6 5+n m +4m n ≥1 6 5+2 n m ·4m n =3 2 ,等号在n m =4m n ,即 n=2m =4 时成立. 3.(2010·茂名市模考)“a=1 4 ”是“对任意的正数 x,均有 x+a x ≥1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 [答案] A [解析] ∵a=1 4 ,x>0 时,x+a x ≥2 x·a x =1,等号在 x=1 2 时成立,又 a=4 时,x+a x =x+4 x ≥2 x·4 x =4 也满足 x+a x ≥1,故选 A. 4.(2010·广西柳州市模考)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A [解析] a,b 中有一个不是正数时,若 a+b=1,显然有 4ab≤1 成立,a,b 都是正数时,由 1=a+b≥2 ab得 4ab≤1 成立,故 a+b=1⇒4ab≤1,但当 4ab≤1 成立时,未必有 a+b=1, 如 a=-5,b=1 满足 4ab≤1,但-5+1≠1,故选 A. 5.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是1 2 ,且α=a+1 a ,β=b+1 b ,则α+β的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] D [解析] ∵1 2 为 a、b 的等差中项,∴a+b=1 2 ×2=1. a+1 a +b+1 b ⇒1+1 a +1 b =1+a+b ab =1+ 1 ab , ∵ ab≤a+b 2 ,∴ab≤ a+b 2 4 =1 4.∴原式≥1+4. ∴α+β的最小值为 5.故选 D. 6.(文)若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则1 a + 1 b 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] D [解析] 圆(x+1)2+(y-2)2=4,∵弦长为 4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b=1. ∴1 a +1 b = 1 a +1 b (a+b)=2+b a +a b≥4. 当且仅当 a=b=1 2 时取等号. (理)半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直,则△ABC、△ACD、 △ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为( ) A.8 B.16 C.32 D.64 [答案] C [解析] 根据题意可知,设 AB=a,AC=b,AD=c,则可知 AB,AC,AD 为球的内接长方体 的 一 个 角 . 故 a2 + b2 + c2 = 64 , 而 S △ ABC + S △ ACD + S △ ADB = 1 2 (ab + ac + bc)≤a2+b2+a2+c2+b2+c2 4 =a2+b2+c2 2 =32. 等号在 a=b=c=8 3 3 时成立. 7.(文)已知 c 是椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的半焦距,则b+c a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.( 2,+∞) C.(1, 2) D.(1, 2] [答案] D [解析] 由题设条件知,a1, ∵a2=b2+c2,∴ b+c 2 a2 =b2+c2+2bc a2 ≤2 b2+c2 a2 =2,∴b+c a ≤ 2.故选 D. (理)已知 F1、F2 分别为双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意 一点,若|PF1|2 |PF2| 的值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1, 3] D.(1,3] [答案] D [解析] |PF1|2 |PF2| = 2a+|PF2| 2 |PF2| = 4a2 |PF2| +|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当 4a2 |PF2| =|PF2|, 即|PF2|=2a 时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得 6a≥2c,即 e=c a ≤3,∴e ∈(1,3]. 8.(2010·南昌市模拟)已知 a,b∈R+,a+b=1,M=2a+2b,则 M 的整数部分是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] ∵a,b∈R+,a+b=1,∴0b>0,则集合 M 等于( ) A.E∩F B.E∪F C.E∩(∁ RF) D.(∁ RE)∩F [答案] C [解析] ∵a>b>0, ∴a=a+a 2 >a+b 2 > ab> b2=b, 如图可见集合 M 在 E 中,不在 F 中,故 M=E∩∁ RF. 10.(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、 AC 于 E、F 两点,若AB→=λAE→(λ>0),AC→=μAF→(μ>0),则1 λ +4 μ 的最小值是( ) A.9 B.7 2 C.5 D.9 2 [答案] D [解析] ED→=AD→ -AE→=1 2 (AB→+AC→)-AE→ =1 2(λAE→+μAF→)-AE→= λ 2 -1 AE→+μ 2 AF→, EF→=AF→-AE→. ∵ED→与EF→共线,且AE→与AF→不共线,∴ λ 2 -1 -1 = μ 2 1 , ∴λ+μ=2,∴1 λ +4 μ =1 2 1 λ +4 μ (λ+μ) =1 2 5+μ λ +4λ μ ≥9 2 ,等号在μ=4 3 ,λ=2 3 时成立. (理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中,点 P 是斜边 BC 的中点,过点 P 的直线 分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB→=mAM→ ,AC→=nAN→ ,则 mn 的最大值为( ) A.1 2 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC 的腰长为 2,则 P 点坐标 为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵AB→=mAM→ ,AC→=nAN→ , ∴AM→ =AB→ m ,AN→ =AC→ n ,∴M 0,2 m 、N 2 n ,0 , ∴直线 MN 的方程为my 2 +nx 2 =1, ∵直线 MN 过点 P(1,1),∴m 2 +n 2 =1,∴m+n=2, ∵m+n≥2 mn,∴mn≤ m+n 2 4 =1,当且仅当 m=n=1 时取等号,∴mn 的最大值为 1. 二、填空题 11.(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知 b>0,直线 b2x+y+1=0 与 ax-(b2+4)y+2 =0 互相垂直,则 ab 的最小值为________. [答案] 4 [解析] ∵两直线垂直,∴ab2-(b2+4)=0,∴a=b2+4 b2 ,∵b>0,∴ab=b2+4 b =b+4 b≥4, 等号在 b=4 b ,即 b=2 时成立. 12.(文)(2010·重庆文,12)已知 t>0,则函数 y=t2-4t+1 t 的最小值为________. [答案] -2 [解析] y=t2-4t+1 t =t+1 t -4 因为 t>0,y=t+1 t -4≥2 t·1 t -4=-2. 等号在 t=1 t ,即 t=1 时成立. (理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数 y=2x,y=x2,y=8 x 的图象都过点 A,且点 A 在 直线 x m + y 2n =1(m>0,n>0)上,则 log2m+log2n 的最小值为________. [答案] 4 [解析] 由题易得,点 A 的坐标为(2,4),因为点 A 在直线 x m + y 2n =1(m>0,n>0)上,所以 1= 2 m + 4 2n ≥2 2 m · 4 2n ,∴mn≥16,所以 log2m+log2n=log2(mn)≥4,故 log2m+log2n 的最小值 为 4. 13.(文)(2010·南充市)已知正数 a,b,c 满足:a+2b+c=1 则1 a +1 b +1 c 的最小值为________. [答案] 6+4 2 [解析] 1 a +1 b +1 c =a+2b+c a +a+2b+c b +a+2b+c c = 2b a +a b + c a +a c + c b +2b c +4≥2 2+ 2+2 2+4=6+4 2, 等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2b c 同时成立时成立. 即 a=c= 2b=1- 2 2 时等号成立. (理)(2010·北京延庆县)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 xy 的最大值是________. [答案] 1 12 [解析] ∵lg2x+lg8y=lg2,∴2x·8y=2,即 2x+3y=2,∴x+3y=1,∴xy=1 3x·(3y)≤1 3· x+3y 2 2 = 1 12 ,等号在 x=3y,即 x=1 2 ,y=1 6 时成立. 14.(文)(2010·重庆一中)设 M 是△ABC 内一点,且AB→·AC→=2 3,∠BAC=30°,定义 f(M)=(m, n,p),其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(M)= 1 2 ,x,y ,则1 x +4 y 的最小值是________. [答案] 18 [解析] ∵AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos30° = 3 2 |AB|·|AC|=2 3,∴|AB|·|AC|=4, 由 f(M)的定义知,S△ABC=1 2 +x+y, 又 S△ABC=1 2 |AB|·|AC|·sin30°=1, ∴x+y=1 2 (x>0,y>0) ∴1 x +4 y =2(x+y) 1 x +4 y =2 5+y x +4x y ≥2(5+2 4)=18,等号在y x =4x y ,即 y=2x=1 3 时成立, ∴ 1 x +4 y min=18. (理)(2010·江苏无锡市调研)设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,则 AB 的最小值为______. [答案] 2 [解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为x a +y b =1,则 ab a2+b2 =1, ∴a2b2=a2+b2≥2ab,切线与两轴交于点 A(a,0)和(0,b),不妨设 a>0,b>0,∴ab≥2,则 AB =|AB|= a2+b2≥ 2ab≥2. 三、解答题 15.已知α、β都是锐角,且 sinβ=sinαcos(α+β). (1)当α+β=π 4 ,求 tanβ的值; (2)当 tanβ取最大值时,求 tan(α+β)的值. [解析] (1)∵由条件知,sinβ= 2 2 sin π 4 -β , 整理得 3 2 sinβ-1 2 cosβ=0, ∵β为锐角,∴tanβ=1 3 . (2)由已知得 sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ, ∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ, ∴tanβ=sinαcosα 1+sin2α = sinαcosα 2sin2α+cos2α = tanα 2tan2α+1 = 1 2tanα+ 1 tanα ≤ 1 2 2 = 2 4 . 当且仅当 1 tanα =2tanα时,取“=”号, ∴tanα= 2 2 时,tanβ取得最大值 2 4 , 此时,tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 2. 16.(文)(2010·江苏盐城调研)如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD, 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB=30 米,AD=20 米.记三角形花园 APQ 的面积为 S. (1)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值. (2)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围内? [解析] (1)设 DQ=x 米(x>0),则 AQ=x+20, ∵QD DC =AQ AP ,∴ x 30 =x+20 AP , ∴AP=30 x+20 x ,则 S=1 2×AP×AQ=15 x+20 2 x =15(x+400 x +40)≥1200,当且仅当 x=20 时取等号. (2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0, ∴0b>0)以双曲线x2 3 -y2=1 的焦点为顶点,其离心率与双曲线的 离心率互为倒数. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点. ①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值; ②若直线 MA、MB 与直线 x=4 分别交于点 P、Q,求线段 PQ 长度的最小值.[来源:Zxxk.Com] [分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数 a、b,即可写出椭圆方程,进而可求得点 A, B 坐标,设出 M 点坐标,可列出 kMA·kMB 的表达式,利用 M 在椭圆上可消元,通过计算验 证结果为常数,再根据点 A、M、P 三点共线和 M、B、Q 三点共线就可以找到点 P、Q 的纵 坐标之间的关系,即可求出线段 PQ 长度的最小值. [解析] (1)易知双曲线x2 3 -y2=1 的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为 2 3 ,故在椭圆 C 中 a=2, e= 3 2 ,∴c= 3,b=1,故椭圆 C 的方程为x2 4 +y2=1. (2)①设 M(x0,y0),(x0≠±2),由题易知 A(-2,0),B(2,0),则 kMA= y0 x0+2 ,kMB= y0 x0-2 , 故 kMA·kMB= y0 x0+2 · y0 x0-2 = y02 x02-4 , 点 M 在椭圆 C 上,则x02 4 +y02=1, 即 y02=1-x02 4 =-1 4 (x02-4),故 kMA·kMB= y02 x02-4 =-1 4 ,直线 MA,MB 的斜率之积为定 值. ②解法一:设 P(4,y1),Q(4,y2),则 kMA=kPA=y1 6 ,kMB=kBQ=y2 2 ,由①得y1 6 ·y2 2 =-1 4 , 即 y1y2=-3,当 y1>0,y2<0 时,|PQ|=|y1-y2|≥2 -y1y2=2 3,当且仅当 y1= 3,y2 =- 3时等号成立,同理可得,当 y1<0,y2>0 时,当且仅当 y1=- 3,y2= 3时,|PQ| 有最小值 2 3. 解法二:设直线 MA 的斜率为 k,直线 MA 的方程为 y=k(x+2),从而 P(4,6k),由①知直线 MB 的斜率为- 1 4k ,直线 MB 的方程为 y=- 1 4k(x-2),故得 Q 4,- 1 2k ,故|PQ|=|6k+ 1 2k |≥2 3,当且仅当 k=± 3 6 时等号成立.
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