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文档介绍
高考数学文科试卷全国1卷内含答案新课标卷卷
2011年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 (1)设集合U=,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】 (2)函数的反函数为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数的反函数为. (3)设向量满足,,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】,所以 (4)若变量x,y满足约束条件,则的最小值为 (A)17 (B)14 (C)5 (D)3 【答案】C 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划. 【解析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5. (5)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. 【解析】即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A. (6)设为等差数列的前项和,若,公差,,则 (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一,解得. 解法二: ,解得. (7)设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系. 【解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,得. (8)已知直二面角,点,,为垂足,,,为垂 C A B D 足,若,则 (A) 2 (B) (C) (D)1 【答案】C 【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为是直二面角, ,∴平面, ,又, (9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B 【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】第一步选出2人选修课程甲有种方法,第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法,根据分步计数原理,有种选法. (10) 设是周期为2的奇函数,当时,,则 (A) - (B) (C) (D) 【答案】A 【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: (11)设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离= (A)4 (B) (C)8 (D) 【答案】C 【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式. 【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为,则,即,所以由两点间的距离公式可求出. (12)已知平面α截一球面得圆,过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4,圆的面积为4,则圆的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【答案】D 【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中,, ∴,故圆的半径,∴圆的面积为. 第Ⅱ卷 注意事项: 1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 3第Ⅱ卷共l0小题,共90分。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试卷上作答无效) (13)的二项展开式中,的系数与的系数之差为 . 【答案】0 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质. 【解析】由得的系数为,的系数为,所以的系数与的系数之差为0. (14)已知,,则 . 【答案】 【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围,进而确定值的符号. 【解析】,,则. (15)已知正方体中,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 . 【答案】 【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角. 【解析】取A1B1的中点M连接EM,AM,AE,则就是异面直线AE与BC所成的角。在中,. (16)已知、分别为双曲线: 的左、右焦点,点,点的坐标为(2,0),为的平分线.则 . 【答案】6 【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质. 【解析】为的平分线,∴ ∴ 又点,由双曲线的第一定义得. 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效) 设等比数列的前n项和为.已知求和. 【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程,求出a1和q,然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。 【解析】设的公比为q,由题设得 …………………………………3分 解得或, …………………………………6分 当时,; 当时, ……………………………10分 (18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. (Ⅰ)求B; (Ⅱ)若. 【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。 (II)在(I)问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】(I)由正弦定理得…………………………3分 由余弦定理得. 故,因此 .…………………………………6分 (II) …………………………………8分 故 .…………………………………12分 (19)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率,考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险: B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。 C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种; D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买; E表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买. (I), , ……………………………3分 ……………………………6分 (II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分 P(E)=. ……………………………12分 (20)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥中, ∥,,侧面为等边三角形.. (I) 证明: (II) 求AB与平面SBC所成角的大小。 【分析】第(I)问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件,找出AB的中点E,连结SE,DE,就做出了解决这个问题的关键辅助线。 (II)本题直接找线面角不易找出,要找到与AB平行的其它线进行转移求解。 【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算,注重与平面几何的综合. 解法一:(Ⅰ)取中点,连结,则四边形为矩形,,连结,则,. 又,故, 所以为直角. ………………3分 由,,,得平面,所以. 与两条相交直线、都垂直. 所以平面. ………………6分 另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. ………………6分 (Ⅱ)由平面知,平面平面. 作,垂足为,则平面ABCD,. 作,垂足为,则. 连结.则. 又,故平面,平面平面.……9分 作,为垂足,则平面. ,即到平面的距离为. 由于,所以平面,到平面的距离也为. 设与平面所成的角为,则,.……12分 解法二:以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则、. 又设,则. (Ⅰ), 由得 , 故. 由得, 又由得, 即,故. ………………3分 于是, . 故,又, 所以平面. ………………6分 (Ⅱ)设平面的法向量, 则. 又, 故 ………………9分 取得,又 . 故与平面所成的角为. ………………12分 (21)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 (Ⅰ)证明:曲线 (Ⅱ)若求a的取值范围. 【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出切线方程. (II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程的判别式进行分类讨论. 解:(I) .………………2分 由得曲线在x=0处的切线方程为 由此知曲线在x=0处的切线过点(2,2) .………………6分 (II)由得. (i)当时,没有极小值; .………………8分 (ii)当或时,由得 故.由题设知, 当时,不等式无解; 当时,解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是 ..………………12分 (22)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足. (I)证明:点在上; (II)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上. 【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。 【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把用坐标表示后求出P点的坐标,然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上;(II)此问题证明有两种思路:思路一:关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用到角公式. 思路二:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N,然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可. 【解析】(I),的方程为,代入并化简得 . …………………………2分 设, 则 由题意得 所以点的坐标为. 经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分 (II)由和题设知,,的垂直平分线的方程为 . ① 设的中点为,则,的垂直平分线的方程为 . ② 由①、②得、的交点为. …………………………9分 , , , , , 故 , 又 , , 所以 , 由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分 (II)法二: 同理 所以互补, 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。 【点评】本题涉及到平面向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题最好特点没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定条件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同学不知道怎么下手,让我求什么不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题,这个跟平时做的不太一样,证明题结论给大家,需要大家严谨推导出来,可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙,非常涉及解析几何本质的内容,一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然出现四点共圆,这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题,让学生掌握解析几何的本质,而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题,最后方法用代数方法研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆形不好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一定在中垂线,两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.查看更多