北京高考数学真题与答案

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北京高考数学真题与答案

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 数 学(理工农医类)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎(1)设集合等于 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)设,则 ‎ ‎ (A)y3>y1>y2 (B)y2>y1>y3 (C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2‎ ‎(3)“”是“”的 ‎ (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 ‎(4)已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是 ‎ (A)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n ‎ (C)若m⊥α,m⊥β,则α∥β (D)若m⊥α,,则α⊥β ‎(5)极坐标方程表示的曲线是 ‎ (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 ‎(6)若且的最小值是 ‎ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5‎ ‎(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有 ‎ (A)24种 (B)18种 (C)12种 (D)6种 ‎(9)若数列的通项公式是,则 ‎ - 10 -‎ 等于 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令 ‎ , 其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为 ‎ (A)‎ ‎ (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.‎ ‎(11)函数中, 是偶函数.‎ ‎(12)以双曲线右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 ‎ ‎(13)如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .‎ ‎(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ - 10 -‎ 已知函数 ‎ (Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎ (Ⅱ)若,求的最大值、最小值.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 已知数列是等差数列,且 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)令求数列前n项和的公式.‎ ‎(17)(本小题满分15分)‎ ‎ 如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC.‎ ‎ (Ⅰ)求证:直线BC1//平面AB1D;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;‎ ‎ (Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.‎ ‎(18)(本小题满分15分)‎ ‎ 如图,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(0,r)(‎ ‎ (Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;‎ ‎ (Ⅱ)直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证:;‎ ‎ (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交x轴于点P,GD交x轴于点Q.‎ ‎ 求证:|OP|=|OQ|. (证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ - 10 -‎ ‎ 有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图)‎ ‎ (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,‎ ‎ 点P应位于何处?‎ ‎ (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,‎ ‎ 点P应位于何处?‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ ‎ 设是定义在区间上的函数,且满足条件:‎ ‎ (i)‎ ‎ (ii)对任意的 ‎ (Ⅰ)证明:对任意的 ‎ (Ⅱ)证明:对任意的 ‎ (Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得 ‎ ‎ 若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.‎ - 10 -‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) ‎ 数学(理工农医类)答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分50分.‎ ‎(1)A ‎ ‎(2)D ‎ ‎(3)A ‎ ‎(4)B ‎ ‎(5)D ‎ ‎(6)B ‎ ‎(7)C ‎ ‎(8)B ‎ ‎(9)C ‎ ‎(10)C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎(11) ‎ ‎(12) ‎ ‎(13) ‎ ‎(14)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎ ‎ ‎(15)满分13‎ ‎(Ⅰ)解析:因为 所以的最小正周期 - 10 -‎ ‎(Ⅱ)解析:因为所以 ‎ 当时,取得最大值;当时,取得最小值-1. 所以在上的最大值为1,最小值为-‎ ‎(16)满分13分.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)解析:设数列公差为,则 又 所以(Ⅱ)解:令则由得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ 当时,①式减去②式,得 ‎ ‎ ‎ 所以 当时, 综上可得当时, ‎ ‎ 当时,‎ ‎(17) 满分15分.‎ ‎ (Ⅰ)证明:CD//C1B1,又BD=BC=B1C1, ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形, ∴BC1//DB1.‎ 又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D.‎ ‎(Ⅱ)解析:过B作BE⊥AD于E,连结EB1,‎ ‎∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD ,‎ ‎∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,‎ ‎∵BD=BC=AB,‎ ‎∴E是AD的中点, ‎ 在Rt△B1BE中,‎ - 10 -‎ ‎∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°‎ ‎ (Ⅲ)解法一:过A作AF⊥BC于F,∵B1B⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BB1C1C,‎ ‎∴AF⊥平面BB1C1C,且AF= ‎ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎ 解法二:在三棱柱ABC—A1B1C1中,‎ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎(18)满分15分.‎ ‎ (Ⅰ)解析:椭圆方程为焦点坐标为 ‎ 离心率 ‎(Ⅱ)证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得 整理得根据韦达定理,得 ‎ 所以 ①‎ 将直线GH的方程代入椭圆方程,同理可得,‎ 由①,②得所以结论成立.‎ ‎(Ⅲ)证明:设点P(p,0),点Q(q,0),由C、P、H共线,‎ ‎ 得解得,‎ ‎ 由D、Q、G共线,同理可得 - 10 -‎ ‎ ‎ ‎ 变形得 ‎ 即 ‎ 所以 ‎(19).满分14分.‎ ‎ (Ⅰ)解析:由题设可知,记设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 所以,当时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是 ‎(Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为 ‎ ‎ 由解得记于是 ‎ 当即时,在[上是增函数,而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 ‎ 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 ‎ 记于是 ‎ - 10 -‎ ‎ 当的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.‎ ‎ 当即的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.‎ 答:当时,点P的坐标为当,点P的坐标为(0,0),其中 ‎ 解法三:因为在△ABC中,AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上,其坐标为,‎ ‎ 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,‎ 若(如图1),则点M在线段AO上,‎ 这时P到A、B、C三点的最远距离为 P1C和P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,所以点P与外心M 重合时,P到三镇的最远距离最小.‎ ‎ 若(如图2),则点M在线段AO外,这时 P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A,‎ ‎ 且P1C≥OC,P2A≥OC,所以点P与BC边中点O重合时,‎ P到三镇的最远距离最小为.‎ 答:当时,点P的位置在△ABC的外心 ‎;当时,点P的位置在原点O.‎ - 10 -‎ ‎(20)满分14分.‎ ‎(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有 即 ‎(Ⅱ)证法一:对任意的 当不妨设则 所以,‎ 综上可知,对任意的都有 证法二:由(Ⅰ)可得,当 ‎ ‎ 所以,当因此,对任意的 当时,当时,有 且 所以 综上可知,对任意的都有 ‎(Ⅲ)答:满足所述条件的函数不存在.‎ ‎ 理由如下,假设存在函数满足条件,则由 ‎ 得 又所以①‎ ‎ 又因为为奇数,所以由条件 得 ② ①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.‎ - 10 -‎
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