高考理科数学试题全国卷2及解析完美word版

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高考理科数学试题全国卷2及解析完美word版

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、=( )‎ A.1+2i B.1–2i C.2+i D.2–i ‎2、设集合A={1,2,4},B={x2–4x+m=0},若A∩B={1},则B=( )‎ A.{1,–3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}‎ ‎3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎4、如下左1图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )‎ A.90π B.63π C.42π D.36π ‎5、设x、y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( )‎ A.–15 B.–9 C.1 D.9‎ ‎6、安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )‎ A.12种 B.18种 C. 24种 D.36种 ‎ ‎7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则( )‎ ‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 ‎ C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8、执行上左2的程序框图,如果输入的a=–1,则输出的S=( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎9、若双曲线C:–=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x–2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )‎ A.2 B. C. D. ‎10、已知直三棱柱ABC–A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1, 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎11、若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)ex–1的极值点,则f(x)的极小值为( )‎ A.–1 B.–2e–3 C.5e–3 D.1 ‎ ‎12、已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则向量PA·(PB+PC)的最小值是( )‎ A.–2 B.– C.– D.–1 ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13、一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到二等品件数,则DX=_______________________。‎ ‎14、函数f(x)=sin2x+cosx–(x∈[0,])的最大值是______________。‎ ‎15、等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则___________。‎ ‎16、已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点,则|FN|=_______________________。‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17、(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sin(A+C)=8sin2。‎ ‎(1)求cosB;‎ ‎(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b。‎ ‎18、(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;‎ ‎(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;‎ ‎         箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎ 新养殖法 ‎  ‎ ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)。‎ 附: K2=。‎ ‎19、(12分)如图,四棱锥P–ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于地面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点。‎ ‎(1)证明:直线CE∥平面PAB;‎ ‎(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M–AB–D的余弦值。‎ ‎20、(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足向量NP=NM。‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设点Q在直线x=–3上,且向量OP·PQ=1。 证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。‎ ‎21、(12分)已知函数f(x)=ax2–ax–xlnx,且f(x)≥0。‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e–2< f(x0)<2–2。‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。‎ ‎22、[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4。‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值。 ‎ ‎23、[选修4–5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2。证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2。‎ 理科数学 参考答案 一、选择题 ‎1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D ‎7、D 8、B 9、A 10、C 11、A 12、B 二、填空题 ‎13、1.96;‎ ‎14、1;‎ ‎15、;‎ ‎16、6;‎ 三、解答题 ‎17、(1)由A+C=π–B得sinB=8sin2,即cos=4sin,∴tan=,得tanB=,则有cosB=。‎ ‎(2)由(1)可知sinB=,则S△ABC=acsinB=2,得ac=,‎ 又b2=a2+c2–2ac·cosB=(a+c)2–2ac–ac=4,则b=2。‎ ‎18、(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,‎ 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,‎ 而两种箱产量相互独立,则P(A)=0.62×0.66=0.4092。‎ ‎(2)由频率分布直方图可得列联表 ‎         箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎ ‎ 62‎ ‎ 38‎ 新养殖法 ‎   34‎ ‎ 66‎ 则K2=≈15.705>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。‎ ‎(3)新养殖法箱产量低于50kg的面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,‎ 产量低于55kg的面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,‎ 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为()×5+50≈52.35(kg)。‎ ‎19、(1)取PA中点F,连结EF、BF。因为E为PD中点,则EF∥AD。而由题可知BC∥AD,则EF∥BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以EC∥FB。又EC⊄面PAB,FB⊂面PAB,故CE∥平面PAB。‎ ‎(2)因为AB⊥AD,则以A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系A–xyz,如图所示。‎ 取AB=1,设向量CM=λCP(0<λ<1),则得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),,则CP=(–1,0, ),CM=(–λ,0,λ),可得点M(1–λ,1,λ),所以BM=(–λ,1,λ)。‎ 取底面ABCD的法向量为n=(0,0,1),则|cos|==sin45°,解得λ=,则向量BM=(–,1,)。因为向量AB=(1,0,0),设面MAB的法向量为m=(x,y,z),由得,取z=2得m=(0,–,2),‎ 则cos=。故二面角M–AB–D的余弦值为。‎ ‎20、(1)设P(x,y),则M(x,y),将点M代入C中得+=1,所以点P的轨迹方程为x2+y2=2。‎ ‎(2)由题可知F(–1,0),设Q(–3,t),P(m,n),则向量OQ=(–3,t),PF=(–1–m,–n),OP=(m,n),PQ=(–3–m,t–n)。由向量 OP·OQ=1得–3m–m2+tn–n2=1,由(1)有m2+n2=2,则有3+3m–tn=0,所以OQ·PF=3+3m–tn=0,即过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。‎ ‎21、(1) f(x)的定义域为(0,+∞),则f(x)≥0等价于ax–a–lnx≥0。‎ 设g(x)=ax–a–lnx,则g'(x)=a–。由题可知a>0,则由g'(x)>0解得x>,所以g(x)为(,+∞)上的增函数,为(0,)上的减函数。则有g(x)min=g()=1–a+lna=0,解得a=1。‎ ‎(2)由(1)可知f(x)=x2–x–xlnx,则f'(x)=2x–2–lnx。 ‎ 设h(x)=2x–2–lnx,则h'(x)=2–。由h'(x)>0解得x>,所以h(x)为(,+∞) 上的增函数,为(0,)上的减函数。又因为h()=ln2–1<0,h(1)=0,则h(x)在(0,)上存在唯一零点x0使得2x0–2–lnx0=0,即2x0–2=lnx0,且f(x)为(0,x0),(1,+∞)上的增函数,为(x0,1)上的减函数,则f(x)极大值为f(x0)=x0(1–x0)<。‎ 而e–1∈(0,1),x0≠e–1,所以f(x0)>f(e–1)=e–2。‎ 综上,e–2< f(x0)<2–2。 ‎ ‎22、(1)设P极坐标为(ρ,θ)( ρ>0),M极坐标为(ρ1,θ)( ρ1>0)。则|OP|=ρ,|OM|=ρ1=。由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)。所以C2 的直角坐标方程为(x–2)2+y2=4(x≠0)。‎ ‎(2)设B极标为(ρ2,θ)( ρ2>0),由题可知|OA|=2,ρ2=4cosα,则有 S△OAB=|OA|·ρ2·|sin(α–)|=2|sin(2α–)–|≤2+。即当α=–时,△OAB面积的最大值为2+。‎ ‎23、(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2–2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2–b2)2≥4。‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+ ,所以(a+b)3≤8,解得a+b≤2。‎
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